О магнитном маятнике | Хаос, фракталы и бассейны притяжения

Устройство

Железный шарик висит на длинной нити. Под ним на столе лежат два магнита или больше. Отпустите шарик — он качнётся к одному магниту, проскочит мимо, его подхватит другой, и он будет петлять между ними, пока трение не отнимет у него энергию и он не остановится над одним из магнитов.

Силы

На шарик действуют три силы. Гравитация тянет его обратно к точке прямо под точкой подвеса, как у любого маятника. Каждый магнит притягивает его к себе — сильнее всего, когда шарик проходит прямо над ним. Воздух и трение его замедляют. Симуляция использует эту стандартную модель: сила, возвращающая к середине, сопротивление, растущее со скоростью, и магнитное притяжение, ослабевающее с расстоянием.

Хаос

Движение подчиняется неизменным законам: отпустите шарик дважды из одной и той же точки, и он оба раза сделает одно и то же. Но отпустите его на волосок в стороне — и через несколько петель у двух путей не останется ничего общего. Эта чувствительная зависимость от начальных условий и есть хаос. Её также называют эффектом бабочки.

Бассейны притяжения

Каждый магнит — это аттрактор: состояние, в котором шарик оказывается в итоге. Множество начальных точек, которые приводят к данному магниту, — его бассейн притяжения. Раскрасьте каждый бассейн, и получится карта. Возле каждого магнита его бассейн — спокойное пятно. Дальше бассейны обвиваются друг вокруг друга всё более тонкими полосами.

Фрактальная граница

Если бы можно было увеличивать границу между двумя цветами, она никогда не превратилась бы в простую линию. На каждом масштабе появляются всё новые полосы. Присмотритесь к границе между двумя цветами — и обычно найдёте там и третий цвет. Бассейны с таким свойством математики называют бассейнами Вада.

Время как затенение

Тёмные участки карты — это начальные точки, из которых шарик дольше всего блуждает, прежде чем остановиться. Они лежат вдоль границ, где шарик всё никак не может выбрать между магнитами. Светлые пятна у магнитов — быстрые, прямые падения.

Попробуйте в PictorX

Откройте магнитный маятник, и шарик уже качается над своей картой. Щёлкните или потяните по картинке, чтобы отпустить его из любой точки, и перетаскивайте магниты, чтобы их передвинуть. Меняйте параметры Магниты, Трение, Высота, Сила магнитов и Гравитация — карта пересчитывается в фоне. Установите параметр Карта на 100%, чтобы остался один фрактал, затем сохраните PNG.

Часто задаваемые вопросы

Что такое бассейн притяжения?

Это все начальные точки, из которых система приходит в одно и то же конечное состояние. У магнитного маятника такой бассейн есть у каждого магнита: начальные точки, из которых шарик останавливается над этим магнитом.

Почему магнитный маятник непредсказуем, если он подчиняется точным законам?

Потому что крошечные различия в начале растут очень быстро. Чтобы предсказать, какой магнит победит при старте у границы, нужно было бы знать этот старт с невозможной точностью.

Можно ли сделать магнитный маятник самому?

Да. Подвесьте стальной шарик на нитке чуть выше стола, положите под него два или три магнита и отпустите. Настольные версии продаются как хаотические маятники.

Почему при меньшем трении карта получается тоньше?

При меньшем трении шарик качается дольше и чаще проходит над магнитами, прежде чем остановиться. Каждый лишний проход ещё сильнее разделяет начальные точки, поэтому полосы становятся тоньше.