Buffon iğnesi hakkında | Geometrik olasılık ve π

Paralel çizgili bir zemin

1777’de Georges-Louis Leclerc, Kont Buffon, bir salon numarası gibi görünen bir soru sordu. Uzunluğu l olan bir iğne, aralarında d mesafe bulunan paralel çizgilerle bölünmüş bir zemine düşer. İğnenin bir çizginin üzerinden geçme olasılığı P nedir? Düşüşte yalnızca iki şey rastgeledir. İğnenin merkezi çizgilerin arasında herhangi bir yere eşit olasılıkla düşer ve iğne herhangi bir yönü eşit olasılıkla gösterir. Resmi çizgiler boyunca kaydırmak iğnenin kesip kesmediğini değiştirmez, bu yüzden bir çizgi boyuncaki konum göz ardı edilebilir.

Kısa iğne

Klasik cevap kısa bir iğne, yani aralıktan uzun olmayan bir iğne içindir: l ≤ d. Böyle bir iğne en fazla bir çizgiye değebilir ve bunun olasılığı P = 2l / (πd) Pratik bir düzen, iğneyi aralığın yarısı uzunluğunda almaktır: l = d/2. O zaman P = 1/π, yaklaşık 0,318 olur. Üç atıştan birinden biraz azı kesişmedir.

π nereden gelir

İğnenin merkezinden en yakın çizgiye olan uzaklığa x diyelim. O zaman x, 0’dan d/2’ye kadar değişir. İğne ile çizgiler arasındaki açıya θ diyelim. İğnenin ne başı ne de kuyruğu vardır, bu yüzden θ 0’dan π’ye kadar değişir ve bu yarım tur zaten her yönü içerir. x, iğnenin yarısının izdüşümünden büyük olmadığında iğne çizgiye ulaşır: x ≤ (l/2) sin θ Her (θ, x) çifti, genişliği π ve yüksekliği d/2 olan bir dikdörtgende bir noktadır. Kesişmeler sinüs eğrisinin altındaki bölgedir. Kısa bir iğne için bu eğri dikdörtgenin içinde kalır. Alanı, (l/2) sin θ dθ’nın 0’dan π’ye integralidir ve bu l’dir. Dikdörtgenin alanına, π·d/2’ye bölündüğünde olasılık 2l/(πd) olur. Formüldeki π, açı ekseninin genişliğidir.

π’yi tahmin etmek

Formülü tersine çevirin; aynı atışlar π’yi tahmin eder: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N atış sayısı, N_hit ise bir çizgiyi kesenlerin sayısıdır. l = d/2 olduğunda bu basitçe π ≈ N / N_hit olur. Bu bir Monte Carlo tahminidir: rastgele konumlar ve açılar seçin, kesişmeleri sayın, bölün. Zemin iğneleri gösterir. Yanındaki dikdörtgen aynı atışları noktalar olarak gösterir; kesenler sinüs eğrisinin altında, kesmeyenler üstündedir.

Sabır isteyen bir deney

Tahmin yansızdır ama yavaştır. Her atış, olasılığı 1/π’ye yakın bir evet ya da hayırdır; bu yüzden oran uzun süre dalgalanır. Birkaç bin atış genellikle ilk basamakları π olarak tanınır hale getirir. Sonraki basamak çok daha fazla atış ister. Göstergenin yanındaki ±, bu oranın bir standart hatasıdır; bu uzunluktaki bir serinin gerçek değerden tipik olarak hâlâ ne kadar uzakta olduğunun ölçüsüdür. Buffon iğnesi, çizgili bir zemin ile bir çember arasında doğrudan bir bağdır. π’nin basamaklarını hesaplamak için ise kötü bir makinedir.

PictorX’te keşfedin

Buffon iğnesini açın; yarım iğne deneyi zaten başlamıştır: l/d = 0,50, dolayısıyla gösterge atış sayısı bölü kesişme sayısıdır. “Zemin ve diyagram” tahtaları ve sinüs dikdörtgenini birlikte gösterir. Elle bir iğne yerleştirip x değerini ve açısını okumak için zeminde sürükleyin. Bu iğne çizilir ama sayıma katılmaz, böylece tahmin rastgele bir örneklem olarak kalır. “Tam aralık” l = d yapar; burada π ≈ 2N / N_hit olur. “Kısa iğne” l = d/4 yapar. “1.000 atış” bir grup iğne düşürür ve tahmini okuyabilmeniz için durur. “Sinüs diyagramı” favorisi zemini gizler ve dikdörtgeni doldurur. PNG olarak kaydedin ya da tuvali PictorX düzenleyicisinde açın. İzleyebileceğiniz daha fazla matematik için Ulam sarmalı veya Collatz sanısıyla birlikte deneyin.

Sık sorulan sorular

Buffon iğnesi problemini kim ortaya attı?

Georges-Louis Leclerc, Kont Buffon, 1777’de. Geometrik olasılığın ilk problemlerinden biridir.

İğne bir çizgiyi ne zaman keser?

Merkezinden en yakın çizgiye olan x uzaklığı en fazla (l/2) sin θ olduğunda. Burada θ, iğne ile çizgiler arasındaki 0 ile π arasındaki açıdır.

Cevapta neden π var?

İğnenin yönü bir açıdır. Olası tüm düşüşler genişliği π, yüksekliği d/2 olan bir dikdörtgeni doldurur ve kesişmeler bir sinüs eğrisinin altındaki alandır. Bu iki alan bölündüğünde paydada π kalır: kısa bir iğne için P = 2l/(πd).

Kararlı bir tahmin için kaç atış gerekir?

İğne aralığın yarısıysa π yaklaşık olarak atış sayısı bölü kesişme sayısıdır. Birkaç bin atış genellikle ilk basamakları oturtur. Bir basamak daha çok daha fazla atış ister. Göstergedeki ±, tahminin bir standart hatasıdır.

İğne aralıktan uzunsa ne olur?

Daha uzun bir iğne birden fazla çizgiyi kesebilir ve P = 2l/(πd) artık geçerli olmaz. Bu uygulama l ≤ d koşulunu korur, bu yüzden tahmin π ≈ 2l·N / (d·N_hit) olarak kalır.