Om Buffons nål | Geometrisk sannolikhet och π

Ett golv med parallella linjer

År 1777 ställde Georges-Louis Leclerc, greve av Buffon, en fråga som låter som ett sällskapstrick. En nål med längden l faller på ett golv med parallella linjer på avståndet d. Hur stor är sannolikheten P att nålen ligger över en linje? Bara två saker med fallet är slumpmässiga. Nålens mitt hamnar med lika stor sannolikhet var som helst mellan linjerna, och nålen pekar med lika stor sannolikhet åt vilket håll som helst. Att skjuta bilden längs linjerna ändrar inte om den korsar, så läget längs en linje kan bortses från.

Den korta nålen

Det klassiska svaret gäller en kort nål, som inte är längre än avståndet: l ≤ d. En sådan nål kan träffa högst en linje, och sannolikheten för det är P = 2l / (πd) En praktisk uppställning tar nålen hälften så lång som avståndet, l = d/2. Då är P = 1/π, ungefär 0,318. Lite under vart tredje kast är en korsning.

Var π kommer ifrån

Kalla avståndet från nålens mitt till närmaste linje för x. Då går x från 0 till d/2. Kalla vinkeln mellan nålen och linjerna för θ. En nål har varken huvud eller svans, så θ går från 0 till π och det halva varvet omfattar redan alla riktningar. Nålen når linjen när x inte är större än projektionen av halva nålen: x ≤ (l/2) sin θ Varje par (θ, x) är en punkt i en rektangel med bredden π och höjden d/2. Korsningarna är området under sinuskurvan. För en kort nål håller sig kurvan inom rektangeln. Dess area är integralen från 0 till π av (l/2) sin θ dθ, vilket är l. Dividera med rektangelns area, π·d/2, så blir sannolikheten 2l/(πd). π i formeln är bredden på vinkelaxeln.

Att skatta π

Vänd på formeln, så skattar samma kast π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N är antalet kast och N_hit antalet som korsar en linje. Med l = d/2 blir det helt enkelt π ≈ N / N_hit Det är en Monte Carlo-skattning: dra slumpmässiga lägen och vinklar, räkna korsningarna och dividera. Golvet visar nålarna. Rektangeln bredvid visar samma kast som punkter, under sinuskurvan när de korsar och ovanför när de missar.

Ett tålmodigt experiment

Skattningen är väntevärdesriktig, och långsam. Varje kast är ett ja eller nej med en sannolikhet nära 1/π, så kvoten vandrar länge. Några tusen kast brukar göra de första siffrorna igenkännliga som π. Nästa siffra kräver ett mycket större antal. ± bredvid avläsningen är ett standardfel för kvoten, ett mått på hur långt en serie av den här längden brukar ligga från det sanna värdet. Buffons nål är en direkt länk mellan ett linjerat golv och en cirkel. Den är en dålig maskin för att räkna ut siffror i π.

Utforska det i PictorX

Öppna Buffons nål, så faller experimentet med den halva nålen redan: l/d = 0,50, så avläsningen är kast delat med korsningar. ”Golv och diagram” visar golvbrädorna och sinusrektangeln tillsammans. Dra på golvet för att lägga en nål för hand och läsa av dess x och vinkel. Den nålen ritas men räknas inte, så att skattningen förblir ett slumpmässigt urval. ”Fullt avstånd” ställer in l = d, där π ≈ 2N / N_hit. ”Kort nål” ställer in l = d/4. ”1 000 kast” släpper en omgång och pausar så att du kan läsa av skattningen. Favoriten ”Sinusdiagram” döljer golvet och fyller rektangeln. Spara en PNG eller öppna duken i PictorX-redigeraren. Kombinera det med Ulams spiral eller Collatz förmodan för mer matematik att titta på.

Ofta ställda frågor

Vem formulerade Buffons nålproblem?

Georges-Louis Leclerc, greve av Buffon, år 1777. Det är ett av de första problemen inom geometrisk sannolikhet.

När korsar nålen en linje?

När avståndet x från dess mitt till närmaste linje är högst (l/2) sin θ. Här är θ vinkeln mellan nålen och linjerna, från 0 till π.

Varför finns π i svaret?

Nålens riktning är en vinkel. Alla möjliga fall fyller en rektangel som är π bred och d/2 hög, och korsningarna är arean under en sinuskurva. När de två areorna divideras står π kvar i nämnaren: P = 2l/(πd) för en kort nål.

Hur många kast krävs för en stabil skattning?

Med nålen hälften så lång som avståndet är π ungefär kast delat med korsningar. Några tusen kast brukar stabilisera de första siffrorna. Ytterligare en siffra kräver ett mycket större antal. ± i avläsningen är ett standardfel för skattningen.

Vad händer om nålen är längre än avståndet?

En längre nål kan korsa fler än en linje, och P = 2l/(πd) gäller inte längre. Den här appen håller l ≤ d, så skattningen förblir π ≈ 2l·N / (d·N_hit).