Despre acul lui Buffon | Probabilitate geometrică și π

O podea cu linii paralele

În 1777, Georges-Louis Leclerc, conte de Buffon, a pus o întrebare care sună a truc de salon. Un ac de lungime l cade pe o podea cu linii paralele aflate la distanța d. Care este probabilitatea P ca acul să stea peste o linie? Doar două lucruri din cădere sunt aleatorii. Centrul acului are aceeași șansă să ajungă oriunde între linii, iar acul are aceeași șansă să indice orice direcție. Glisarea imaginii de-a lungul liniilor nu schimbă dacă acul intersectează sau nu, deci poziția de-a lungul unei linii poate fi ignorată.

Acul scurt

Răspunsul clasic este pentru un ac scurt, care nu e mai lung decât distanța: l ≤ d. Un asemenea ac poate atinge cel mult o linie, iar probabilitatea să o facă este P = 2l / (πd) O alegere comodă este un ac cât jumătate din distanță, l = d/2. Atunci P = 1/π, aproximativ 0,318. Puțin sub una din trei aruncări este o intersecție.

De unde vine π

Fie x distanța de la centrul acului la cea mai apropiată linie. Atunci x ia valori de la 0 la d/2. Fie θ unghiul dintre ac și linii. Un ac nu are nici cap, nici coadă, deci θ ia valori de la 0 la π, iar această jumătate de rotație cuprinde deja orice direcție. Acul ajunge la linie când x nu este mai mare decât proiecția jumătății acului: x ≤ (l/2) sin θ Fiecare pereche (θ, x) este un punct într-un dreptunghi de lățime π și înălțime d/2. Intersecțiile sunt regiunea de sub curba sinusului. Pentru un ac scurt, curba rămâne în interiorul dreptunghiului. Aria ei este integrala de la 0 la π din (l/2) sin θ dθ, adică l. Împărțind la aria dreptunghiului, π·d/2, probabilitatea este 2l/(πd). π din formulă este lățimea axei unghiurilor.

Estimarea lui π

Întoarce formula și aceleași aruncări estimează π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N este numărul de aruncări, iar N_hit numărul celor care intersectează o linie. Cu l = d/2 devine pur și simplu π ≈ N / N_hit Este o estimare Monte Carlo: alegi la întâmplare poziții și unghiuri, numeri intersecțiile, împarți. Podeaua arată acele. Dreptunghiul de alături arată aceleași aruncări ca puncte, sub curba sinusului când intersectează și deasupra ei când ratează.

Un experiment răbdător

Estimarea este nedeplasată, dar lentă. Fiecare aruncare este un da sau un nu cu o probabilitate apropiată de 1/π, așa că raportul oscilează mult timp. Câteva mii de aruncări fac de obicei primele cifre recognoscibile ca π. Următoarea cifră cere un număr mult mai mare. ± de lângă afișaj este o eroare standard a acestui raport, o măsură a cât de departe se află de obicei încă o serie de această lungime de valoarea adevărată. Acul lui Buffon este o legătură directă între o podea liniată și un cerc. Este o mașină slabă pentru calculul cifrelor lui π.

Explorează-l în PictorX

Deschide acul lui Buffon și experimentul cu jumătate de ac rulează deja: l/d = 0,50, deci afișajul arată aruncări împărțite la intersecții. „Podea și diagramă” arată împreună scândurile și dreptunghiul sinusului. Trage pe podea pentru a așeza un ac de mână și a-i citi x și unghiul. Acel ac este desenat și lăsat în afara numărătorii, astfel încât estimarea rămâne un eșantion aleatoriu. „Distanță completă” setează l = d, unde π ≈ 2N / N_hit. „Ac scurt” setează l = d/4. „1.000 de aruncări” lasă să cadă un lot și se oprește ca să poți citi estimarea. Favoritul „Diagrama sinusului” ascunde podeaua și umple dreptunghiul. Salvează un PNG sau deschide pânza în editorul PictorX. Combină-l cu spirala lui Ulam sau cu conjectura lui Collatz pentru mai multă matematică de urmărit.

Întrebări frecvente

Cine a formulat problema acului lui Buffon?

Georges-Louis Leclerc, conte de Buffon, în 1777. Este una dintre primele probleme de probabilitate geometrică.

Când intersectează acul o linie?

Când distanța x de la centrul său la cea mai apropiată linie este cel mult (l/2) sin θ. Aici θ este unghiul dintre ac și linii, de la 0 la π.

De ce apare π în răspuns?

Direcția acului este un unghi. Toate căderile posibile umplu un dreptunghi lat de π și înalt de d/2, iar intersecțiile sunt aria de sub o curbă a sinusului. Împărțind cele două arii, π rămâne la numitor: P = 2l/(πd) pentru un ac scurt.

Câte aruncări sunt necesare pentru o estimare stabilă?

Cu acul cât jumătate din distanță, π este aproximativ aruncări împărțite la intersecții. Câteva mii de aruncări stabilizează de obicei primele cifre. O cifră în plus cere un număr mult mai mare. ± de pe afișaj este o eroare standard a estimării.

Ce se întâmplă dacă acul e mai lung decât distanța?

Un ac mai lung poate intersecta mai multe linii, iar P = 2l/(πd) nu mai este valabilă. Această aplicație păstrează l ≤ d, deci estimarea rămâne π ≈ 2l·N / (d·N_hit).