O igle Buffona | Prawdopodobieństwo geometryczne i π

Podłoga w równoległe linie

W 1777 roku Georges-Louis Leclerc, hrabia de Buffon, zadał pytanie, które brzmi jak salonowa sztuczka. Igła o długości l spada na podłogę z równoległymi liniami w odstępach d. Jakie jest prawdopodobieństwo P, że igła będzie leżeć w poprzek linii? Losowe są tylko dwie rzeczy. Środek igły z jednakowym prawdopodobieństwem ląduje w dowolnym miejscu między liniami, a igła z jednakowym prawdopodobieństwem wskazuje dowolny kierunek. Przesunięcie obrazu wzdłuż linii nie zmienia tego, czy igła przecina linię, więc położenie wzdłuż linii można pominąć.

Krótka igła

Klasyczna odpowiedź dotyczy krótkiej igły, nie dłuższej niż odstęp: l ≤ d. Taka igła może trafić co najwyżej jedną linię, a prawdopodobieństwo, że to zrobi, wynosi P = 2l / (πd) Wygodnie jest wziąć igłę o długości połowy odstępu, l = d/2. Wtedy P = 1/π, około 0,318. Nieco mniej niż co trzeci rzut daje przecięcie.

Skąd się bierze π

Niech x oznacza odległość od środka igły do najbliższej linii. Wtedy x przyjmuje wartości od 0 do d/2. Niech θ oznacza kąt między igłą a liniami. Igła nie ma ani główki, ani końca, więc θ przyjmuje wartości od 0 do π, a te pół obrotu obejmuje już wszystkie kierunki. Igła sięga linii, gdy x nie jest większe od rzutu połowy igły: x ≤ (l/2) sin θ Każda para (θ, x) to punkt w prostokącie o szerokości π i wysokości d/2. Przecięcia to obszar pod sinusoidą. Dla krótkiej igły ta krzywa mieści się w prostokącie. Jej pole to całka od 0 do π z (l/2) sin θ dθ, czyli l. Po podzieleniu przez pole prostokąta, π·d/2, prawdopodobieństwo wynosi 2l/(πd). π we wzorze to szerokość osi kątów.

Szacowanie π

Odwróć wzór, a te same rzuty pozwolą oszacować π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N to liczba rzutów, a N_hit liczba tych, które przecinają linię. Przy l = d/2 to po prostu π ≈ N / N_hit To oszacowanie metodą Monte Carlo: losuj położenia i kąty, licz przecięcia, dziel. Podłoga pokazuje igły. Prostokąt obok pokazuje te same rzuty jako punkty: pod sinusoidą, gdy przecinają, i nad nią, gdy nie przecinają.

Eksperyment dla cierpliwych

Oszacowanie jest nieobciążone, ale powolne. Każdy rzut to tak albo nie z prawdopodobieństwem bliskim 1/π, więc iloraz długo się waha. Kilka tysięcy rzutów zwykle wystarcza, by w pierwszych cyfrach rozpoznać π. Kolejna cyfra wymaga znacznie większej liczby. ± obok odczytu to jeden błąd standardowy tego ilorazu, miara tego, jak daleko seria tej długości zwykle wciąż jest od prawdziwej wartości. Igła Buffona to bezpośrednie połączenie podłogi w linie z okręgiem. Jako maszyna do liczenia cyfr π sprawdza się słabo.

Poznaj to w PictorX

Otwórz igłę Buffona, a eksperyment z połową igły już trwa: l/d = 0,50, więc odczyt to rzuty podzielone przez przecięcia. „Podłoga i wykres” pokazuje deski i prostokąt sinusa razem. Przeciągnij po podłodze, aby położyć jedną igłę ręcznie i odczytać jej x oraz kąt. Ta igła jest rysowana, ale nie jest liczona, więc oszacowanie pozostaje próbą losową. „Pełny odstęp” ustawia l = d, gdzie π ≈ 2N / N_hit. „Krótka igła” ustawia l = d/4. „1000 rzutów” upuszcza partię i wstrzymuje działanie, abyś mógł odczytać oszacowanie. Ulubiony „Wykres sinusa” ukrywa podłogę i wypełnia prostokąt. Zapisz PNG lub otwórz płótno w edytorze PictorX. Połącz to ze spiralą Ulama lub hipotezą Collatza, aby zobaczyć więcej matematyki w działaniu.

Często zadawane pytania

Kto sformułował problem igły Buffona?

Georges-Louis Leclerc, hrabia de Buffon, w 1777 roku. To jeden z pierwszych problemów prawdopodobieństwa geometrycznego.

Kiedy igła przecina linię?

Gdy odległość x od jej środka do najbliższej linii wynosi co najwyżej (l/2) sin θ. Tutaj θ to kąt między igłą a liniami, od 0 do π.

Dlaczego w wyniku pojawia się π?

Kierunek igły to kąt. Wszystkie możliwe upadki wypełniają prostokąt o szerokości π i wysokości d/2, a przecięcia to pole pod sinusoidą. Po podzieleniu tych dwóch pól w mianowniku zostaje π: P = 2l/(πd) dla krótkiej igły.

Ile rzutów potrzeba do stabilnego oszacowania?

Gdy igła ma połowę odstępu, π to mniej więcej rzuty podzielone przez przecięcia. Kilka tysięcy rzutów zwykle ustala pierwsze cyfry. Kolejna cyfra wymaga znacznie większej liczby. ± przy odczycie to jeden błąd standardowy oszacowania.

A co, jeśli igła jest dłuższa niż odstęp?

Dłuższa igła może przeciąć więcej niż jedną linię i wzór P = 2l/(πd) przestaje obowiązywać. Ta aplikacja utrzymuje l ≤ d, więc oszacowanie pozostaje π ≈ 2l·N / (d·N_hit).