L’ago di Buffon | Probabilità geometrica e π

Un pavimento di righe parallele

Nel 1777 Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon, pose una domanda che sembra un gioco da salotto. Un ago di lunghezza l cade su un pavimento con righe parallele a distanza d. Qual è la probabilità P che l’ago stia a cavallo di una riga? Solo due aspetti della caduta sono casuali. Il centro dell’ago ha la stessa probabilità di finire in qualsiasi punto tra le righe, e l’ago ha la stessa probabilità di puntare in qualsiasi direzione. Far scorrere l’immagine lungo le righe non cambia il fatto che incroci o no, quindi la posizione lungo una riga si può ignorare.

L’ago corto

La risposta classica riguarda un ago corto, non più lungo della distanza: l ≤ d. Un ago così può toccare al massimo una riga, e la probabilità che lo faccia è P = 2l / (πd) Una scelta comoda è un ago lungo metà della distanza, l = d/2. Allora P = 1/π, circa 0,318. Poco meno di un lancio su tre è un incrocio.

Da dove viene π

Chiamiamo x la distanza dal centro dell’ago alla riga più vicina. Allora x va da 0 a d/2. Chiamiamo θ l’angolo tra l’ago e le righe. Un ago non ha né testa né coda, quindi θ va da 0 a π e quel mezzo giro comprende già ogni direzione. L’ago raggiunge la riga quando x non supera la proiezione di metà ago: x ≤ (l/2) sin θ Ogni coppia (θ, x) è un punto in un rettangolo di larghezza π e altezza d/2. Gli incroci sono la regione sotto la curva del seno. Per un ago corto quella curva resta dentro il rettangolo. La sua area è l’integrale da 0 a π di (l/2) sin θ dθ, che vale l. Dividendo per l’area del rettangolo, π·d/2, la probabilità è 2l/(πd). Il π nella formula è la larghezza dell’asse degli angoli.

Stimare π

Capovolgi la formula e gli stessi lanci stimano π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N è il numero di lanci e N_hit il numero di quelli che incrociano una riga. Con l = d/2 diventa semplicemente π ≈ N / N_hit È una stima Monte Carlo: estrai posizioni e angoli a caso, conta gli incroci, dividi. Il pavimento mostra gli aghi. Il rettangolo accanto mostra gli stessi lanci come punti, sotto la curva del seno quando incrociano e sopra quando la mancano.

Un esperimento paziente

La stima è corretta, ma lenta. Ogni lancio è un sì o un no con probabilità vicina a 1/π, quindi il rapporto oscilla a lungo. Qualche migliaio di lanci di solito rende le prime cifre riconoscibili come quelle di π. La cifra successiva richiede un numero molto più grande. Il ± accanto al valore è un errore standard di quel rapporto, una misura di quanto una serie di questa lunghezza resti tipicamente lontana dal valore vero. L’ago di Buffon è un collegamento diretto tra un pavimento a righe e un cerchio. È una pessima macchina per calcolare le cifre di π.

Esploralo in PictorX

Apri l’ago di Buffon e l’esperimento del mezzo ago sta già cadendo: l/d = 0,50, quindi il valore mostrato è lanci diviso incroci. «Pavimento e diagramma» mostra insieme le assi e il rettangolo del seno. Trascina sul pavimento per posare un ago a mano e leggerne x e angolo. Quell’ago viene disegnato ed escluso dal conteggio, così la stima resta un campione casuale. «Distanza intera» imposta l = d, dove π ≈ 2N / N_hit. «Ago corto» imposta l = d/4. «1.000 lanci» fa cadere un lotto e si mette in pausa per farti leggere la stima. Il preferito «Diagramma del seno» nasconde il pavimento e riempie il rettangolo. Salva un PNG o apri la tela nell’editor di PictorX. Abbinalo alla spirale di Ulam o alla congettura di Collatz per altra matematica da guardare.

Domande frequenti

Chi ha posto il problema dell’ago di Buffon?

Georges-Louis Leclerc, conte di Buffon, nel 1777. È uno dei primi problemi di probabilità geometrica.

Quando l’ago incrocia una riga?

Quando la distanza x dal suo centro alla riga più vicina è al massimo (l/2) sin θ. Qui θ è l’angolo tra l’ago e le righe, da 0 a π.

Perché nella risposta compare π?

La direzione dell’ago è un angolo. Tutte le cadute possibili riempiono un rettangolo largo π e alto d/2, e gli incroci sono l’area sotto una curva del seno. Dividendo queste due aree resta π al denominatore: P = 2l/(πd) per un ago corto.

Quanti lanci servono per una stima stabile?

Con l’ago lungo metà della distanza, π è circa lanci diviso incroci. Qualche migliaio di lanci di solito stabilizza le prime cifre. Un’altra cifra richiede un numero molto più grande. Il ± sul valore mostrato è un errore standard della stima.

E se l’ago è più lungo della distanza?

Un ago più lungo può incrociare più di una riga, e P = 2l/(πd) non vale più. Questa app mantiene l ≤ d, quindi la stima resta π ≈ 2l·N / (d·N_hit).