Tentang jarum Buffon | Peluang geometris dan π

Lantai bergaris sejajar

Pada 1777, Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, mengajukan pertanyaan yang terdengar seperti trik pesta. Sebuah jarum sepanjang l jatuh ke lantai yang bergaris sejajar dengan jarak d. Berapa peluang P bahwa jarum itu melintang di atas sebuah garis? Hanya dua hal dari jatuhnya jarum yang acak. Titik tengah jarum sama mungkinnya mendarat di mana saja di antara garis, dan jarum sama mungkinnya menunjuk ke arah mana pun. Menggeser gambar di sepanjang garis tidak mengubah apakah jarum menyilang, jadi posisi di sepanjang garis dapat diabaikan.

Jarum pendek

Jawaban klasiknya berlaku untuk jarum pendek, yang tidak lebih panjang dari jaraknya: l ≤ d. Jarum seperti itu paling banyak hanya bisa mengenai satu garis, dan peluangnya adalah P = 2l / (πd) Pengaturan yang praktis memakai jarum setengah jarak, l = d/2. Maka P = 1/π, sekitar 0,318. Sedikit kurang dari satu dari tiga lemparan adalah persilangan.

Dari mana π berasal

Misalkan x adalah jarak dari titik tengah jarum ke garis terdekat. Maka x bernilai dari 0 sampai d/2. Misalkan θ adalah sudut antara jarum dan garis. Jarum tidak punya kepala maupun ekor, jadi θ bernilai dari 0 sampai π dan setengah putaran itu sudah mencakup semua arah. Jarum mencapai garis ketika x tidak lebih besar dari proyeksi setengah jarum: x ≤ (l/2) sin θ Setiap pasangan (θ, x) adalah titik dalam persegi panjang selebar π dan setinggi d/2. Persilangan adalah daerah di bawah kurva sinus. Untuk jarum pendek, kurva itu tetap berada di dalam persegi panjang. Luasnya adalah integral dari 0 sampai π dari (l/2) sin θ dθ, yaitu l. Bagi dengan luas persegi panjang, π·d/2, maka peluangnya 2l/(πd). π dalam rumus itu adalah lebar sumbu sudut.

Memperkirakan π

Balik rumusnya, dan lemparan yang sama memperkirakan π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N adalah jumlah lemparan dan N_hit adalah jumlah yang menyilang garis. Dengan l = d/2 ini menjadi sederhana π ≈ N / N_hit Ini adalah estimasi Monte Carlo: ambil posisi dan sudut acak, hitung persilangannya, lalu bagi. Lantai menampilkan jarum-jarumnya. Persegi panjang di sebelahnya menampilkan lemparan yang sama sebagai titik, di bawah kurva sinus jika menyilang dan di atasnya jika meleset.

Eksperimen yang butuh kesabaran

Estimasinya tak bias, tetapi lambat. Setiap lemparan adalah ya atau tidak dengan peluang mendekati 1/π, sehingga rasionya berubah-ubah untuk waktu lama. Beberapa ribu lemparan biasanya membuat digit pertama dapat dikenali sebagai π. Digit berikutnya membutuhkan jumlah yang jauh lebih besar. Tanda ± di samping angka adalah satu galat baku dari rasio itu, ukuran seberapa jauh percobaan sepanjang ini biasanya masih berada dari nilai sebenarnya. Jarum Buffon adalah penghubung langsung antara lantai bergaris dan lingkaran. Ia adalah mesin yang buruk untuk menghitung digit π.

Jelajahi di PictorX

Buka jarum Buffon dan eksperimen setengah jarum sudah berjalan: l/d = 0,50, jadi angka yang tampil adalah lemparan dibagi persilangan. "Lantai dan diagram" menampilkan papan lantai dan persegi panjang sinus bersama-sama. Seret di lantai untuk meletakkan satu jarum dengan tangan dan membaca x serta sudutnya. Jarum itu digambar tetapi tidak dihitung, sehingga estimasi tetap merupakan sampel acak. "Jarak penuh" mengatur l = d, dengan π ≈ 2N / N_hit. "Jarum pendek" mengatur l = d/4. "1.000 lemparan" menjatuhkan satu kelompok lalu berhenti agar Anda bisa membaca estimasinya. Favorit "Diagram sinus" menyembunyikan lantai dan mengisi persegi panjang. Simpan PNG, atau buka kanvas di editor PictorX. Padukan dengan spiral Ulam atau konjektur Collatz untuk lebih banyak matematika yang bisa ditonton.

Frequently asked questions

Siapa yang mengajukan masalah jarum Buffon?

Georges-Louis Leclerc, Comte de Buffon, pada 1777. Ini adalah salah satu masalah pertama dalam peluang geometris.

Kapan jarum menyilang garis?

Ketika jarak x dari titik tengahnya ke garis terdekat paling besar (l/2) sin θ. Di sini θ adalah sudut antara jarum dan garis, dari 0 sampai π.

Mengapa jawabannya memuat π?

Arah jarum adalah sebuah sudut. Semua kemungkinan jatuhnya mengisi persegi panjang selebar π dan setinggi d/2, dan persilangan adalah luas di bawah kurva sinus. Membagi kedua luas itu menyisakan π di penyebut: P = 2l/(πd) untuk jarum pendek.

Berapa lemparan untuk estimasi yang stabil?

Dengan jarum setengah jarak, π kira-kira lemparan dibagi persilangan. Beberapa ribu lemparan biasanya menstabilkan digit pertama. Satu digit lagi membutuhkan jumlah yang jauh lebih besar. Tanda ± pada angka adalah satu galat baku dari estimasi.

Bagaimana jika jarum lebih panjang dari jaraknya?

Jarum yang lebih panjang dapat menyilang lebih dari satu garis, dan P = 2l/(πd) tidak lagi berlaku. Aplikasi ini menjaga l ≤ d, sehingga estimasinya tetap π ≈ 2l·N / (d·N_hit).