बफ़न की सुई के बारे में | ज्यामितीय प्रायिकता और π

समांतर रेखाओं वाला फ़र्श

1777 में जॉर्ज-लुई लेक्लर्क, काउंट बफ़न, ने एक ऐसा सवाल पूछा जो किसी बैठकखाने की जादूगरी जैसा लगता है। लंबाई l की एक सुई ऐसे फ़र्श पर गिरती है जिस पर d दूरी पर समांतर रेखाएँ खिंची हैं। सुई के किसी रेखा के आर-पार पड़ने की प्रायिकता P क्या है? गिरावट की केवल दो बातें यादृच्छिक हैं। सुई का केंद्र रेखाओं के बीच कहीं भी समान प्रायिकता से गिरता है, और सुई किसी भी दिशा में समान प्रायिकता से इशारा करती है। चित्र को रेखाओं के साथ खिसकाने से यह नहीं बदलता कि सुई काटती है या नहीं, इसलिए रेखा के साथ की स्थिति को नज़रअंदाज़ किया जा सकता है।

छोटी सुई

क्लासिक उत्तर छोटी सुई के लिए है, यानी ऐसी सुई जो अंतराल से लंबी न हो: l ≤ d। ऐसी सुई अधिक से अधिक एक रेखा से मिल सकती है, और ऐसा होने की प्रायिकता है P = 2l / (πd) एक सुविधाजनक व्यवस्था में सुई अंतराल की आधी ली जाती है, l = d/2। तब P = 1/π, लगभग 0.318। हर तीन में से एक से थोड़ी कम फेंक प्रतिच्छेदन होती है।

π कहाँ से आता है

मान लें x सुई के केंद्र से निकटतम रेखा तक की दूरी है। तब x का मान 0 से d/2 तक होता है। मान लें θ सुई और रेखाओं के बीच का कोण है। सुई का न कोई सिर होता है न पूँछ, इसलिए θ का मान 0 से π तक होता है और वह आधा घुमाव पहले से ही हर दिशा को समेट लेता है। सुई रेखा तक तब पहुँचती है जब x आधी सुई के प्रक्षेप से बड़ा न हो: x ≤ (l/2) sin θ हर युग्म (θ, x) चौड़ाई π और ऊँचाई d/2 वाली आयत में एक बिंदु है। प्रतिच्छेदन साइन वक्र के नीचे का क्षेत्र हैं। छोटी सुई के लिए वह वक्र आयत के भीतर ही रहता है। उसका क्षेत्रफल 0 से π तक (l/2) sin θ dθ का समाकल है, जो l है। आयत के क्षेत्रफल π·d/2 से भाग दें, तो प्रायिकता 2l/(πd) मिलती है। सूत्र में π कोण-अक्ष की चौड़ाई है।

π का अनुमान

सूत्र को उलट दें, तो वही फेंकें π का अनुमान लगाती हैं: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N फेंकों की संख्या है और N_hit उन फेंकों की संख्या है जो रेखा को काटती हैं। l = d/2 होने पर यह बस इतना है π ≈ N / N_hit यह एक मोंटे कार्लो अनुमान है: यादृच्छिक स्थितियाँ और कोण चुनें, प्रतिच्छेदन गिनें, भाग दें। फ़र्श पर सुइयाँ दिखती हैं। उसके बगल की आयत वही फेंकें बिंदुओं के रूप में दिखाती है: काटने पर साइन वक्र के नीचे और न काटने पर उसके ऊपर।

धैर्य का प्रयोग

यह अनुमान अनभिनत है, पर धीमा है। हर फेंक एक हाँ या ना है जिसकी प्रायिकता 1/π के आसपास है, इसलिए अनुपात लंबे समय तक भटकता रहता है। कुछ हज़ार फेंकों से आम तौर पर पहले अंक π के रूप में पहचाने जाने लगते हैं। अगले अंक के लिए कहीं बड़ी गिनती चाहिए। रीडआउट के पास का ± उस अनुपात की एक मानक त्रुटि है, जो बताती है कि इतनी लंबी शृंखला आम तौर पर सही मान से अब भी कितनी दूर रहती है। बफ़न की सुई रेखाओं वाले फ़र्श और एक वृत्त के बीच सीधा संबंध है। π के अंक निकालने के लिए यह एक कमज़ोर मशीन है।

PictorX में आज़माएँ

बफ़न की सुई खोलें, और आधी सुई वाला प्रयोग पहले से चल रहा होता है: l/d = 0.50, इसलिए रीडआउट फेंकों को प्रतिच्छेदनों से भाग देने के बराबर है। "फ़र्श और आरेख" तख़्तों और साइन आयत को साथ-साथ दिखाता है। हाथ से एक सुई रखने और उसका x और कोण पढ़ने के लिए फ़र्श पर ड्रैग करें। वह सुई बनाई जाती है पर गिनती से बाहर रखी जाती है, ताकि अनुमान एक यादृच्छिक नमूना बना रहे। "पूरा अंतराल" l = d सेट करता है, जहाँ π ≈ 2N / N_hit। "छोटी सुई" l = d/4 सेट करता है। "1,000 फेंक" एक बैच गिराकर रुक जाता है ताकि आप अनुमान पढ़ सकें। पसंदीदा "साइन आरेख" फ़र्श छिपाकर आयत भर देता है। PNG सेव करें, या कैनवास को PictorX एडिटर में खोलें। देखने लायक और गणित के लिए इसे उलम सर्पिल या कोलाट्ज़ अनुमान के साथ आज़माएँ।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

बफ़न की सुई समस्या किसने रखी?

जॉर्ज-लुई लेक्लर्क, काउंट बफ़न, ने 1777 में। यह ज्यामितीय प्रायिकता की पहली समस्याओं में से एक है।

सुई रेखा को कब काटती है?

जब उसके केंद्र से निकटतम रेखा तक की दूरी x अधिकतम (l/2) sin θ हो। यहाँ θ सुई और रेखाओं के बीच का कोण है, 0 से π तक।

उत्तर में π क्यों आता है?

सुई की दिशा एक कोण है। सभी संभावित गिरावटें π चौड़ी और d/2 ऊँची एक आयत भरती हैं, और प्रतिच्छेदन एक साइन वक्र के नीचे का क्षेत्रफल हैं। इन दोनों क्षेत्रफलों को भाग देने पर हर में π बचता है: छोटी सुई के लिए P = 2l/(πd)।

स्थिर अनुमान के लिए कितनी फेंकें चाहिए?

जब सुई अंतराल की आधी हो, तो π लगभग फेंकों को प्रतिच्छेदनों से भाग देने के बराबर है। कुछ हज़ार फेंकों से आम तौर पर पहले अंक स्थिर हो जाते हैं। एक और अंक के लिए कहीं बड़ी गिनती चाहिए। रीडआउट पर ± अनुमान की एक मानक त्रुटि है।

अगर सुई अंतराल से लंबी हो तो?

लंबी सुई एक से अधिक रेखाओं को काट सकती है, और P = 2l/(πd) लागू नहीं रहता। यह ऐप l ≤ d बनाए रखता है, इसलिए अनुमान π ≈ 2l·N / (d·N_hit) ही रहता है।