Om Buffons nål | Geometrisk sandsynlighed og π

Et gulv med parallelle linjer

I 1777 stillede Georges-Louis Leclerc, greve af Buffon, et spørgsmål, der lyder som et selskabstrick. En nål med længden l falder ned på et gulv med parallelle linjer i afstanden d. Hvad er sandsynligheden P for, at nålen ligger hen over en linje? Kun to ting ved faldet er tilfældige. Nålens midte lander med lige stor sandsynlighed hvor som helst mellem linjerne, og nålen peger med lige stor sandsynlighed i enhver retning. At skubbe billedet langs linjerne ændrer ikke på, om den krydser, så positionen langs en linje kan ses bort fra.

Den korte nål

Det klassiske svar gælder en kort nål, der ikke er længere end afstanden: l ≤ d. En sådan nål kan højst ramme én linje, og sandsynligheden for det er P = 2l / (πd) En praktisk opstilling bruger en nål på halvdelen af afstanden, l = d/2. Så er P = 1/π, cirka 0,318. Lidt under hvert tredje kast er en krydsning.

Hvor π kommer fra

Kald afstanden fra nålens midte til nærmeste linje for x. Så går x fra 0 til d/2. Kald vinklen mellem nålen og linjerne for θ. En nål har hverken hoved eller hale, så θ går fra 0 til π, og den halve omdrejning dækker allerede alle retninger. Nålen når linjen, når x ikke er større end projektionen af den halve nål: x ≤ (l/2) sin θ Hvert par (θ, x) er et punkt i et rektangel med bredden π og højden d/2. Krydsningerne er området under sinuskurven. For en kort nål holder kurven sig inden for rektanglet. Dens areal er integralet fra 0 til π af (l/2) sin θ dθ, hvilket er l. Dividér med rektanglets areal, π·d/2, så er sandsynligheden 2l/(πd). π i formlen er bredden af vinkelaksen.

Estimering af π

Vend formlen om, så estimerer de samme kast π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N er antallet af kast, og N_hit er antallet, der krydser en linje. Med l = d/2 er det blot π ≈ N / N_hit Det er et Monte Carlo-estimat: træk tilfældige positioner og vinkler, tæl krydsningerne, og dividér. Gulvet viser nålene. Rektanglet ved siden af viser de samme kast som prikker, under sinuskurven når de krydser og over den når de ikke gør.

Et tålmodigt eksperiment

Estimatet er middelret, og det er langsomt. Hvert kast er et ja eller et nej med en sandsynlighed nær 1/π, så forholdet svinger længe. Nogle tusind kast gør som regel de første cifre genkendelige som π. Det næste ciffer kræver et langt større antal. ± ved siden af visningen er én standardfejl på forholdet, et mål for, hvor langt en serie af denne længde typisk stadig ligger fra den sande værdi. Buffons nål er en direkte forbindelse mellem et liniet gulv og en cirkel. Den er en dårlig maskine til at beregne cifre i π.

Udforsk det i PictorX

Åbn Buffons nål, og eksperimentet med den halve nål er allerede i gang: l/d = 0,50, så visningen er kast divideret med krydsninger. »Gulv og diagram« viser brædderne og sinusrektanglet samtidig. Træk på gulvet for at lægge én nål med hånden og aflæse dens x og vinkel. Den nål tegnes, men tælles ikke med, så estimatet forbliver en tilfældig stikprøve. »Fuld afstand« sætter l = d, hvor π ≈ 2N / N_hit. »Kort nål« sætter l = d/4. »1.000 kast« slipper en portion og holder pause, så du kan aflæse estimatet. Favoritten »Sinusdiagram« skjuler gulvet og fylder rektanglet. Gem en PNG, eller åbn lærredet i PictorX-editoren. Kombinér det med Ulams spiral eller Collatz-formodningen for mere matematik, du kan se på.

Ofte stillede spørgsmål

Hvem stillede Buffons nåleproblem?

Georges-Louis Leclerc, greve af Buffon, i 1777. Det er et af de første problemer i geometrisk sandsynlighed.

Hvornår krydser nålen en linje?

Når afstanden x fra dens midte til nærmeste linje højst er (l/2) sin θ. Her er θ vinklen mellem nålen og linjerne, fra 0 til π.

Hvorfor indgår π i svaret?

Nålens retning er en vinkel. Alle mulige fald udfylder et rektangel, der er π bredt og d/2 højt, og krydsningerne er arealet under en sinuskurve. Når de to arealer divideres, står π tilbage i nævneren: P = 2l/(πd) for en kort nål.

Hvor mange kast kræver et stabilt estimat?

Med nålen på halvdelen af afstanden er π omtrent kast divideret med krydsninger. Nogle tusind kast fastlægger som regel de første cifre. Et ciffer mere kræver et langt større antal. ± i visningen er én standardfejl på estimatet.

Hvad hvis nålen er længere end afstanden?

En længere nål kan krydse mere end én linje, og P = 2l/(πd) gælder ikke længere. Denne app holder l ≤ d, så estimatet forbliver π ≈ 2l·N / (d·N_hit).