عن إبرة بوفون | الاحتمال الهندسي وπ

أرضية من خطوط متوازية

في عام 1777 طرح جورج لوي لوكلير، الكونت دو بوفون، سؤالًا يبدو كأنه خدعة صالونات. تسقط إبرة طولها l على أرضية مخططة بخطوط متوازية تفصل بينها مسافة d. ما الاحتمال P أن تستقر الإبرة عبر أحد الخطوط؟ أمران فقط في السقوط عشوائيان. فمنتصف الإبرة يقع بالاحتمال نفسه في أي مكان بين الخطين، والإبرة تشير بالاحتمال نفسه إلى أي اتجاه. وتحريك الصورة على امتداد الخطوط لا يغيّر ما إذا كانت تقطع خطًا، لذا يمكن إهمال الموضع على امتداد الخط.

الإبرة القصيرة

الإجابة الكلاسيكية تخص الإبرة القصيرة، أي التي لا تزيد على المسافة: l ≤ d. هذه الإبرة لا يمكن أن تلامس أكثر من خط واحد، واحتمال أن تفعل ذلك هو P = 2l / (πd) من الإعدادات العملية أن تكون الإبرة نصف المسافة، l = d/2. عندئذٍ P = 1/π، أي نحو 0٫318. فأقل بقليل من رمية واحدة من كل ثلاث هي تقاطع.

من أين تأتي π

لنسمِّ x المسافة من منتصف الإبرة إلى أقرب خط. عندئذٍ تتراوح x من 0 إلى d/2. ولنسمِّ θ الزاوية بين الإبرة والخطوط. ليس للإبرة رأس ولا ذيل، لذا تتراوح θ من 0 إلى π، ونصف الدورة هذا يشمل كل الاتجاهات. تبلغ الإبرة الخط عندما لا تزيد x على مسقط نصف الإبرة: x ≤ (l/2) sin θ كل زوج (θ, x) نقطة في مستطيل عرضه π وارتفاعه d/2. والتقاطعات هي المنطقة تحت منحنى الجيب. وفي حالة الإبرة القصيرة يبقى هذا المنحنى داخل المستطيل. مساحته هي تكامل (l/2) sin θ dθ من 0 إلى π، وتساوي l. وبالقسمة على مساحة المستطيل π·d/2 يكون الاحتمال 2l/(πd). فـπ في الصيغة هي عرض محور الزوايا.

تقدير π

اقلب الصيغة، فتقدّر الرميات نفسها قيمة π: π ≈ 2l · N / (d · N_hit) N عدد الرميات وN_hit عدد الرميات التي تقطع خطًا. وعندما يكون l = d/2 تصبح ببساطة π ≈ N / N_hit إنه تقدير بطريقة مونت كارلو: اختر مواضع وزوايا عشوائية، وعُدّ التقاطعات، ثم اقسم. تعرض الأرضية الإبر. ويعرض المستطيل المجاور الرميات نفسها نقاطًا، تحت منحنى الجيب حين تقطع وفوقه حين لا تقطع.

تجربة تحتاج إلى صبر

التقدير غير متحيز، لكنه بطيء. كل رمية هي نعم أو لا باحتمال قريب من 1/π، لذا تتذبذب النسبة طويلًا. بضعة آلاف من الرميات تكفي عادةً لتمييز الأرقام الأولى بوصفها أرقام π. أما الرقم التالي فيتطلب عددًا أكبر بكثير. علامة ± بجانب القراءة هي خطأ معياري واحد لتلك النسبة، وهي مقياس لمدى بُعد جولة بهذا الطول عادةً عن القيمة الحقيقية. إبرة بوفون صلة مباشرة بين أرضية مخططة ودائرة. لكنها آلة رديئة لحساب أرقام π.

استكشفها في PictorX

افتح إبرة بوفون فتجد تجربة نصف الإبرة جارية بالفعل: l/d = 0٫50، لذا فالقراءة هي عدد الرميات مقسومًا على عدد التقاطعات. يعرض «الأرضية والمخطط» الألواح ومستطيل الجيب معًا. اسحب على الأرضية لوضع إبرة واحدة يدويًا وقراءة x وزاويتها. تُرسم تلك الإبرة لكنها تُستبعد من العدّ، فيبقى التقدير عينة عشوائية. يضبط «المسافة كاملة» القيمة l = d، وعندها π ≈ 2N / N_hit. ويضبط «إبرة قصيرة» القيمة l = d/4. ويُسقط «1000 رمية» دفعة ثم يتوقف مؤقتًا لتقرأ التقدير. أما المفضّل «مخطط الجيب» فيخفي الأرضية ويملأ المستطيل. احفظ ملف PNG أو افتح اللوحة في محرر PictorX. واجمعه مع حلزون أولام أو حدسية كولاتز لمزيد من الرياضيات التي يمكنك مشاهدتها.

الأسئلة المتداولة

من طرح مسألة إبرة بوفون؟

جورج لوي لوكلير، الكونت دو بوفون، عام 1777. وهي من أوائل مسائل الاحتمال الهندسي.

متى تقطع الإبرة خطًا؟

عندما لا تزيد المسافة x من منتصفها إلى أقرب خط على (l/2) sin θ. وهنا θ هي الزاوية بين الإبرة والخطوط، من 0 إلى π.

لماذا تظهر π في الجواب؟

اتجاه الإبرة زاوية. تملأ كل حالات السقوط الممكنة مستطيلًا عرضه π وارتفاعه d/2، والتقاطعات هي المساحة تحت منحنى جيب. وبقسمة هاتين المساحتين تبقى π في المقام: P = 2l/(πd) للإبرة القصيرة.

كم رمية يحتاج التقدير المستقر؟

عندما تكون الإبرة نصف المسافة، تكون π تقريبًا عدد الرميات مقسومًا على عدد التقاطعات. بضعة آلاف من الرميات تكفي عادةً لتثبيت الأرقام الأولى. أما رقم إضافي فيحتاج إلى عدد أكبر بكثير. علامة ± في القراءة هي خطأ معياري واحد للتقدير.

ماذا لو كانت الإبرة أطول من المسافة؟

يمكن للإبرة الأطول أن تقطع أكثر من خط، فلا تعود الصيغة P = 2l/(πd) صالحة. يُبقي هذا التطبيق l ≤ d، لذا يظل التقدير π ≈ 2l·N / (d·N_hit).