关于 3D 双摆 | 球面摆与混沌

经典双摆在一个平面内摆动，用两个角度就能描述。让两根臂都能朝任意方向摆动，每个摆锤就需要两个角度，一共四个。每个摆锤仍然保持固定的距离：上摆锤离悬挂点，下摆锤离上摆锤。如果放开时既没有侧向扭转，也没有旋转，摆就会永远留在它的平面内，因为没有什么把它推出去。

每个摆锤都受到重力和臂的拉力。臂只能沿自身长度方向拉或推，力的大小恰好使这个长度保持不变。这些力事先并不知道，它们每时每刻都在变化。每一步，应用都根据臂长不变这个条件求出两根臂中的力，然后用经典的四阶龙格-库塔法移动摆锤，每模拟一秒走 600 步。

有两个量守恒。总能量，即动能加势能，保持不变，因为臂的长度从不改变，所以臂中的力总体上既不增加也不减少能量。绕穿过悬挂点的竖直轴的角动量也保持不变：重力竖直向下，悬挂点又不动，所以没有什么能让摆绕竖直轴扭转。读数会显示这两个量。

也存在有序的运动。把两根臂在同一个竖直平面内倾斜到恰好合适的角度，再让整个摆以恰好合适的速率绕竖直轴转动，重力、臂中的力和转动就会精确平衡。这时两个摆锤会永远画出两个水平的圆。收藏中的平稳圆锥就从这样的平衡出发：上臂在 35° 时，下臂约在 44°，摆每秒约转 2.7 弧度。

对于大多数起点，运动都是混沌的。相距一毫米出发的两个摆，会一起运动几秒，然后差距每隔两秒左右就放大许多倍，直到两者毫无共同之处。选用收藏中的蝴蝶效应时，孪生摆从 1 mm 外出发，十秒之内就相距一米以上。这种增长的速率由李雅普诺夫指数来衡量。

打开 3D 双摆，它已经在摆动。拖动可以转动视图，滚动可以缩放，还可以在视图中选择斜角、从上方或正面。摆 1 和摆 2 的角度设定每根臂抬起多少，扭转让下臂偏向一侧，旋转给出绕竖直轴的推动。打开孪生摆，看混沌如何起作用，然后保存 PNG。

常见问题

3D 双摆比平面双摆更混沌吗？

它的活动空间更大：四个角度，而不是两个。两者在大幅摆动时都是混沌的。两者的小幅摆动都保持规则，看起来像几种稳定节奏的叠加。

为什么能量读数保持在 100%？

没有阻尼时，没有能量离开系统，而且每一步都足够小、足够精确，几分钟内的漂移也低于千分之一个百分点。

阻尼有什么作用？

它加入随速度增大的空气阻力。摆幅缩小，能量读数下降，最后摆静止地垂挂着。

PictorX 会上传模拟吗？

不会。它在你浏览器里的画布上运行。保存会下载 PNG，编辑会在 PictorX 编辑器中打开那张图。

在浏览器中打开 PictorX — 无需安装，无需信用卡即可启动。