О двойном маятнике в 3D | Сферические маятники и хаос

Из плоскости в пространство

Классический двойной маятник качается в плоскости, и его описывают два угла. Дайте обоим стержням качаться в любом направлении, и каждому грузу понадобятся два угла, всего четыре. Каждый груз по-прежнему держится на постоянном расстоянии: верхний — от точки подвеса, нижний — от верхнего груза. Маятник, отпущенный без бокового поворота и без вращения, навсегда остаётся в своей плоскости, потому что ничто не выталкивает его из неё.

Силы

На каждый груз действуют сила тяжести и тяга его стержней. Стержень может тянуть или толкать только вдоль своей длины, с той силой, которая нужна, чтобы эта длина не менялась. Эти силы заранее неизвестны; они меняются от мгновения к мгновению. На каждом шаге приложение находит силы в обоих стержнях из условия, что длины стержней не меняются, а затем перемещает грузы классическим методом Рунге — Кутты четвёртого порядка, 600 шагов на секунду модельного времени.

Что не меняется

Сохраняются две величины. Полная энергия, кинетическая плюс потенциальная, не меняется, потому что стержни никогда не меняют длину, и силы в них в сумме не добавляют и не отнимают энергии. Момент импульса относительно вертикали, проходящей через точку подвеса, тоже не меняется: гравитация направлена строго вниз, а точка подвеса неподвижна, так что ничто не может закрутить маятник вокруг вертикальной оси. Панель показывает обе величины.

Ровные конусы

Есть и упорядоченное движение. Наклоните оба стержня в одной вертикальной плоскости точно под нужными углами и раскрутите весь маятник вокруг вертикали точно с нужной скоростью — тогда гравитация, силы в стержнях и вращение уравновешиваются в точности. Грузы будут бесконечно описывать две горизонтальные окружности. Вариант «Ровный конус» стартует из такого равновесия: при верхнем стержне под 35° нижний стоит примерно под 44°, а маятник вращается со скоростью около 2,7 радиана в секунду.

Хаос и близнец

При большинстве начальных условий движение хаотично. Два маятника, стартовавшие в миллиметре друг от друга, несколько секунд держатся вместе, а затем расстояние между ними каждые пару секунд вырастает во много раз, пока у них не останется ничего общего. В варианте «Эффект бабочки» близнец стартует в 1 мм в стороне и меньше чем за десять секунд уходит больше чем на метр. Скорость этого роста измеряет показатель Ляпунова.

Попробуйте в PictorX

Откройте двойной маятник в 3D — он уже качается. Перетаскивайте, чтобы поворачивать вид, прокручивайте для масштаба и выберите «Под углом», «Сверху» или «Спереди» в меню «Вид». Угол в разделах «Маятник 1» и «Маятник 2» задаёт, насколько поднят каждый стержень, Поворот отводит нижний стержень вбок, а Вращение даёт толчок вокруг вертикали. Включите «Близнец», чтобы увидеть хаос в действии, затем сохраните PNG.

Часто задаваемые вопросы

Двойной маятник в 3D хаотичнее плоского?

У него больше свободы движения: четыре угла вместо двух. Оба хаотичны при больших размахах. Малые колебания и того и другого остаются регулярными и выглядят как смесь нескольких равномерных ритмов.

Почему Энергия на панели держится на 100%?

Пока Затухание равно нулю, энергия не уходит из системы, а шаги достаточно малы и точны, чтобы за минуты дрейф оставался ниже тысячной доли процента.

Что делает Затухание?

Добавляет сопротивление воздуха, которое растёт со скоростью. Размах уменьшается, Энергия на панели падает, и в конце концов маятник повисает в покое.

Загружает ли PictorX симуляцию?

Нет. Она работает на холсте в браузере. Кнопка «Сохранить» скачивает PNG, а кнопка «Редактировать» открывает это изображение в редакторе PictorX.