3D 二重振り子について | 球面振り子とカオス

平面から空間へ

古典的な二重振り子は1つの平らな面の中で揺れ、2つの角度で表せます。両方のアームをどの方向にも揺れられるようにすると、おもりごとに2つの角度が必要になり、全部で4つになります。それでも、それぞれのおもりは一定の距離を保ちます。上のおもりは支点から、下のおもりは上のおもりからです。横向きのねじりもスピンも与えずに放した振り子は、いつまでも自分の平面の中にとどまります。平面の外へ押し出すものが何もないからです。

はたらく力

それぞれのおもりには、重力とアームの引く力がはたらきます。アームは自分の長さの方向にしか引いたり押したりできず、その長さを一定に保つのに必要なだけの力を出します。これらの力は前もって分かっているわけではなく、刻一刻と変わります。アプリは毎ステップ、アームの長さが変わらないという条件から両方のアームの力を求め、古典的な4次のルンゲ＝クッタ法でおもりを動かします。シミュレーション上の1秒あたり600ステップです。

変わらないもの

2つの量が保存されます。運動エネルギーと位置エネルギーの和である全エネルギーは変わりません。アームの長さが決して変わらないので、アームの力は全体としてエネルギーを足しも引きもしないからです。支点を通る鉛直線まわりの角運動量も変わりません。重力は真下を向き、支点は動かないので、振り子を鉛直軸のまわりにねじるものが何もないからです。数値表示には両方が出ます。

定常円錐

秩序だった運動もあります。2本のアームを同じ鉛直面の中でちょうどよい角度に傾け、振り子全体をちょうどよい速さで鉛直軸のまわりに回すと、重力、アームの力、回転が正確につり合います。するとおもりは、2つの水平な円をいつまでも描き続けます。お気に入りの定常円錐は、このようなつり合いから出発します。上のアームが35°のとき、下のアームは約44°になり、振り子は毎秒約2.7ラジアンで回ります。

カオスとツイン

ほとんどの出発条件で、運動はカオスになります。1ミリ離れて出発した2つの振り子は、数秒間はいっしょに動きますが、その後は差が2秒ほどごとに何倍にも広がり、やがて共通点がまったくなくなります。お気に入りのバタフライ効果では、ツインが1 mm離れて出発し、10秒以内に1メートルを超えて離れます。この広がりの速さは、リアプノフ指数で測ります。

PictorX で試す

3D 二重振り子を開くと、振り子はもう揺れています。ドラッグで視点を回し、スクロールでズームし、表示で斜め・上から・正面のいずれかを選びます。振り子 1 と振り子 2 の角度はそれぞれのアームをどれだけ持ち上げるかを決め、ねじりは下のアームを横に向け、スピンは鉛直軸まわりのひと押しを与えます。ツインをオンにしてカオスがはたらく様子を見てから、PNG を保存します。