3D çift sarkaç hakkında | Küresel sarkaçlar ve kaos

Düzlemden uzaya

Klasik çift sarkaç düz bir düzlemde salınır ve onu iki açı tanımlar. Her iki kolu her yöne salınmaya bırakın; her kütle iki açı ister, yani toplam dört açı. Her kütle yine sabit bir uzaklığı korur: üstteki asılma noktasına, alttaki üstteki kütleye. Yana burgu ve dönüş verilmeden bırakılan bir sarkaç sonsuza dek kendi düzleminde kalır, çünkü onu düzlemin dışına hiçbir şey itmez.

Kuvvetler

Her kütle yerçekimini ve kollarının çekişini hisseder. Bir kol yalnızca kendi uzunluğu boyunca çekebilir ya da itebilir; bunu da o uzunluğu sabit tutmaya ne kadar kuvvet gerekiyorsa o kadar kuvvetle yapar. Bu kuvvetler önceden bilinmez; andan ana değişir. Uygulama her adımda iki kol kuvvetini de kol uzunluklarının değişmemesi koşulundan hesaplar, sonra kütleleri klasik dördüncü mertebeden Runge–Kutta yöntemiyle ilerletir: benzetimdeki her saniye için 600 adım.

Değişmeyenler

İki nicelik korunur. Toplam enerji, yani kinetik artı potansiyel enerji, aynı kalır; çünkü kolların uzunluğu hiç değişmez, bu yüzden içlerindeki kuvvetler toplamda enerji eklemez ya da çıkarmaz. Asılma noktasından geçen düşey eksen çevresindeki açısal momentum da aynı kalır: yerçekimi dosdoğru aşağıyı gösterir ve asılma noktası hareket etmez, bu yüzden hiçbir şey sarkacı düşey eksen çevresinde döndüremez. Gösterge ikisini de verir.

Düzgün koniler

Düzenli bir hareket de vardır. Her iki kolu aynı düşey düzlemde tam doğru açılarla eğin ve tüm sarkacı düşey eksen çevresinde tam doğru hızla döndürün; yerçekimi, kol kuvvetleri ve dönme birbirini tam olarak dengeler. Kütleler o zaman sonsuza dek iki yatay çember çizer. Düzgün koni favorisi böyle bir dengeden başlar: üst kol 35° açıdayken alt kol yaklaşık 44° açıda durur ve sarkaç saniyede yaklaşık 2,7 radyan döner.

Kaos ve ikiz

Çoğu başlangıçta hareket kaotiktir. Bir milimetre arayla başlayan iki sarkaç birkaç saniye birlikte kalır, sonra aradaki fark her birkaç saniyede kat kat büyür ve sonunda ikisinin hiçbir ortak yanı kalmaz. Kelebek etkisi favorisinde ikiz 1 mm öteden başlar ve on saniye içinde bir metreden fazla uzaklaşır. Bu büyümenin hızı Lyapunov üsteliyle ölçülür.

PictorX’te deneyin

3D çift sarkacı açın, zaten salınıyordur. Görünümü döndürmek için sürükleyin, yakınlaştırmak için tekerleği çevirin ve Görünüm menüsünde Açılı, Yukarıdan ya da Önden seçeneğini seçin. Sarkaç 1 ve Sarkaç 2 bölümlerindeki Açı her kolun ne kadar kaldırılacağını belirler, Burgu alt kolu yana çevirir, Dönüş ise düşey eksen çevresinde bir itme verir. Kaosu iş başında izlemek için İkiz seçeneğini açın, sonra bir PNG kaydedin.

Sık sorulan sorular

3D çift sarkaç, düz olandan daha mı kaotiktir?

Hareket etmek için daha fazla alanı vardır: iki yerine dört açı. İkisi de geniş salındığında kaotiktir. İkisinin de küçük salınımları düzenli kalır ve birkaç sabit ritmin karışımı gibi görünür.

Enerji göstergesi neden 100% olarak kalıyor?

Sönümleme olmadan sistemden hiç enerji çıkmaz; adımlar da sapmayı dakikalar boyunca yüzdenin binde birinin altında tutacak kadar küçük ve doğrudur.

Sönümleme ne işe yarar?

Hızla birlikte artan bir hava direnci ekler. Salınımlar küçülür, enerji göstergesi düşer ve sonunda sarkaç hareketsiz asılı kalır.

PictorX benzetimi yükler mi?

Hayır. Benzetim tarayıcınızdaki bir tuvalde çalışır. Kaydet bir PNG indirir, Düzenle de o görüntüyü PictorX düzenleyicisinde açar.