Il doppio pendolo 3D | Pendoli sferici e caos

Dal piano allo spazio

Il doppio pendolo classico oscilla in un unico piano, e due angoli lo descrivono. Lascia oscillare liberamente entrambi i bracci in qualsiasi direzione e ogni massa ha bisogno di due angoli, quindi quattro in tutto. Ogni massa mantiene comunque una distanza fissa: quella superiore dal perno, quella inferiore dalla massa superiore. Un pendolo lasciato andare senza torsione laterale e senza rotazione resta per sempre nel suo piano, perché niente lo spinge fuori.

Le forze

Ogni massa sente la gravità e la trazione dei suoi bracci. Un braccio può solo tirare o spingere lungo la propria lunghezza, con qualunque forza serva a mantenere fissa quella lunghezza. Queste forze non sono note in anticipo; cambiano da un istante all’altro. A ogni passo l’app calcola le forze in entrambi i bracci dalla condizione che le lunghezze dei bracci non cambino, poi muove le masse con il classico metodo di Runge–Kutta del quarto ordine, 600 passi per secondo simulato.

Ciò che resta uguale

Due grandezze si conservano. L’energia totale, cinetica più potenziale, resta uguale perché i bracci non cambiano mai lunghezza, quindi le forze al loro interno non aggiungono né tolgono energia nel complesso. Anche il momento angolare attorno alla verticale passante per il perno resta uguale: la gravità punta dritto verso il basso e il perno non si muove, quindi niente può imprimere al pendolo una rotazione attorno all’asse verticale. Il riquadro le mostra entrambe.

Coni uniformi

C’è anche un moto ordinato. Inclina entrambi i bracci in uno stesso piano verticale proprio agli angoli giusti e fai ruotare tutto il pendolo attorno alla verticale proprio alla velocità giusta: gravità, forze dei bracci e rotazione si bilanciano alla perfezione. Le masse descrivono allora due cerchi orizzontali per sempre. Il preferito Cono uniforme parte da un equilibrio di questo tipo: con il braccio superiore a 35°, il braccio inferiore sta a circa 44° e il pendolo gira a circa 2,7 radianti al secondo.

Il caos e il gemello

Per la maggior parte delle partenze il moto è caotico. Due pendoli che partono a un millimetro di distanza restano insieme per qualche secondo, poi la distanza si moltiplica ogni paio di secondi finché i due non hanno più niente in comune. Nel preferito Effetto farfalla il gemello parte a 1 mm di distanza ed entro dieci secondi è a più di un metro. La rapidità di questa crescita si misura con l’esponente di Lyapunov.

Provalo in PictorX

Apri il doppio pendolo 3D e oscilla già. Trascina per ruotare la vista, scorri per lo zoom, e scegli Obliquo, Dall’alto o Frontale in Visualizza. L’Angolo di Pendolo 1 e Pendolo 2 stabilisce quanto viene sollevato ogni braccio, Torsione ruota il braccio inferiore di lato, e Rotazione dà una spinta attorno alla verticale. Attiva Gemello per vedere il caos all’opera, poi salva un PNG.

Domande frequenti

Il doppio pendolo 3D è più caotico di quello piano?

Ha più spazio per muoversi: quattro angoli invece di due. Entrambi sono caotici quando oscillano ampiamente. Le piccole oscillazioni dell’uno e dell’altro restano regolari e sembrano un insieme di pochi ritmi costanti.

Perché il valore Energia resta al 100%?

Senza Smorzamento nessuna energia lascia il sistema, e i passi sono abbastanza piccoli e precisi che la deriva resta sotto un millesimo di punto percentuale per minuti.

Che cosa fa lo Smorzamento?

Aggiunge una resistenza dell’aria che cresce con la velocità. Le oscillazioni si riducono, l’energia nel riquadro scende e alla fine il pendolo resta appeso fermo.

PictorX carica la simulazione?

No. Gira su una tela nel browser. Salva scarica un PNG, e Modifica apre quell’immagine nell’editor di PictorX.