O wahadle podwójnym 3D | Wahadła sferyczne i chaos

Z płaszczyzny w przestrzeń

Klasyczne wahadło podwójne waha się w jednej płaszczyźnie i opisują je dwa kąty. Uwolnij oba ramiona, żeby mogły wahać się w dowolnym kierunku, a każdy ciężarek będzie potrzebował dwóch kątów, czyli razem czterech. Każdy ciężarek nadal zachowuje stałą odległość: górny od punktu zawieszenia, dolny od górnego ciężarka. Wahadło puszczone bez skrętu w bok i bez obrotu zostaje w swojej płaszczyźnie na zawsze, bo nic go z niej nie wypycha.

Siły

Na każdy ciężarek działa grawitacja i naciąg jego ramion. Ramię może tylko ciągnąć albo pchać wzdłuż własnej długości, z taką siłą, jaka utrzymuje tę długość stałą. Tych sił nie znamy z góry; zmieniają się z chwili na chwilę. Na każdym kroku aplikacja wylicza obie siły w ramionach z warunku, że długości ramion się nie zmieniają, a potem przesuwa ciężarki klasyczną metodą Rungego–Kutty czwartego rzędu, 600 kroków na sekundę symulacji.

Co się nie zmienia

Zachowane są dwie wielkości. Całkowita energia, kinetyczna plus potencjalna, nie zmienia się, bo ramiona nigdy nie zmieniają długości, więc siły w nich łącznie ani nie dodają, ani nie odbierają energii. Moment pędu względem pionowej osi przechodzącej przez punkt zawieszenia też się nie zmienia: grawitacja działa pionowo w dół, a punkt zawieszenia się nie porusza, więc nic nie może skręcić wahadła wokół osi pionowej. Panel informacji pokazuje obie.

Stałe stożki

Istnieje też ruch uporządkowany. Pochyl oba ramiona w jednej pionowej płaszczyźnie pod dokładnie odpowiednimi kątami i obracaj całe wahadło wokół pionu z dokładnie odpowiednią prędkością, a grawitacja, siły w ramionach i ruch obrotowy zrównoważą się idealnie. Ciężarki zataczają wtedy na zawsze dwa poziome okręgi. Ulubione ustawienie Stały stożek startuje z takiej równowagi: przy górnym ramieniu pod kątem 35° dolne ramię ustawia się pod kątem około 44°, a wahadło obraca się z prędkością około 2,7 radiana na sekundę.

Chaos i bliźniak

Przy większości startów ruch jest chaotyczny. Dwa wahadła, które startują milimetr od siebie, przez kilka sekund trzymają się razem, a potem odstęp zwielokrotnia się co parę sekund, aż oba nie mają ze sobą nic wspólnego. W ulubionym ustawieniu Efekt motyla bliźniak startuje 1 mm obok i w ciągu dziesięciu sekund oddala się o ponad metr. Tempo tego wzrostu mierzy wykładnik Lapunowa.

Wypróbuj to w PictorX

Otwórz Wahadło podwójne 3D, a ono już się waha. Przeciągnij, aby obrócić widok, przewiń, aby powiększyć, i wybierz Ukośnie, Z góry albo Z przodu w sekcji Widok. Kąt w sekcjach Wahadło 1 i Wahadło 2 ustala, jak wysoko jest uniesione każde ramię, Skręt obraca dolne ramię w bok, a Obrót daje pchnięcie wokół pionu. Włącz opcję Bliźniak, żeby zobaczyć chaos w działaniu, a potem zapisz PNG.

Często zadawane pytania

Czy wahadło podwójne 3D jest bardziej chaotyczne niż płaskie?

Ma więcej miejsca na ruch: cztery kąty zamiast dwóch. Oba są chaotyczne, gdy wahają się szeroko. Małe wahania każdego z nich pozostają regularne i wyglądają jak mieszanka kilku stałych rytmów.

Dlaczego Energia zostaje na 100%?

Gdy suwak Tłumienie stoi na zerze, żadna energia nie opuszcza układu, a kroki są na tyle małe i dokładne, że dryf przez wiele minut nie przekracza jednej tysięcznej procenta.

Co robi Tłumienie?

Dodaje opór powietrza, który rośnie z prędkością. Wahania maleją, Energia spada, a w końcu wahadło wisi nieruchomo.

Czy PictorX wysyła symulację?

Nie. Działa ona na płótnie w przeglądarce. Przycisk Zapisz pobiera PNG, a Edytuj otwiera ten obraz w edytorze PictorX.