عن البندول المزدوج 3D | البندولات الكروية والفوضى

من المستوى إلى الفضاء

يتأرجح البندول المزدوج الكلاسيكي في مستوٍ مسطح، وتكفي زاويتان لوصفه. حرّر الذراعين ليتأرجحا في أي اتجاه فيحتاج كل ثقل إلى زاويتين، أي أربع زوايا في المجموع. ومع ذلك يحافظ كل ثقل على مسافة ثابتة: العلوي من نقطة التعليق، والسفلي من الثقل العلوي. والبندول الذي يُطلق دون التواء جانبي ودون دوران يبقى في مستواه إلى الأبد، لأنه لا شيء يدفعه خارجه.

القوى

يتأثر كل ثقل بالجاذبية وبشدّ الأذرع المتصلة به. لا يستطيع الذراع إلا أن يشدّ أو يدفع على امتداد طوله، بأي قوة تُبقي ذلك الطول ثابتًا. هذه القوى غير معروفة مسبقًا؛ فهي تتغير من لحظة إلى أخرى. في كل خطوة يحسب التطبيق قوتي الذراعين من شرط ألا تتغير أطوالهما، ثم يحرّك الثقلين بطريقة رونج–كوتا الكلاسيكية من الرتبة الرابعة، بمعدل 600 خطوة لكل ثانية من المحاكاة.

ما يبقى ثابتًا

تُحفظ كميتان. الطاقة الكلية، الحركية مضافًا إليها الكامنة، تبقى ثابتة لأن الذراعين لا يتغير طولهما أبدًا، فلا تضيف القوى فيهما طاقة ولا تنقصها في المجموع. ويبقى الزخم الزاوي حول المحور الرأسي المار بنقطة التعليق ثابتًا أيضًا: فالجاذبية تتجه إلى الأسفل مباشرة ونقطة التعليق لا تتحرك، فلا شيء يمكنه أن يلوي البندول حول المحور الرأسي. تعرض القراءة الكميتين معًا.

المخاريط المنتظمة

وهناك حركة منتظمة أيضًا. أمِل الذراعين في مستوٍ رأسي واحد بالزاويتين المناسبتين تمامًا، وأدِر البندول كله حول المحور الرأسي بالمعدل المناسب تمامًا، فتتوازن الجاذبية وقوى الذراعين والحركة الدائرية توازنًا تامًا. عندئذ يرسم الثقلان دائرتين أفقيتين إلى الأبد. يبدأ خيار «مخروط منتظم» في المفضلة من توازن كهذا: حين يكون الذراع العلوي عند 35° يستقر الذراع السفلي عند نحو 44° ويدور البندول بنحو 2.7 راديان في الثانية.

الفوضى والتوأم

في معظم البدايات تكون الحركة فوضوية. بندولان يبدآن على بعد مليمتر واحد أحدهما من الآخر يبقيان معًا بضع ثوانٍ، ثم تكبر الفجوة أضعافًا كل ثانيتين أو نحو ذلك حتى لا يبقى بينهما شيء مشترك. في خيار «تأثير الفراشة» في المفضلة يبدأ التوأم على بعد 1 mm ويبتعد أكثر من متر في غضون عشر ثوانٍ. ويُقاس معدل هذا النمو بأس ليابونوف.

جرّبه في PictorX

افتح البندول المزدوج 3D فتجده يتأرجح بالفعل. اسحب لتدوير العرض، ومرّر للتكبير، واختر «مائل الزاوية» أو «من الأعلى» أو «من الأمام» من قائمة «عرض». تحدد الزاوية في البندول 1 والبندول 2 مقدار رفع كل ذراع، ويدير الالتواء الذراع السفلي جانبيًا، ويمنح الدوران دفعة حول المحور الرأسي. شغّل التوأم لترى الفوضى وهي تعمل، ثم احفظ PNG.

الأسئلة المتداولة

هل البندول المزدوج 3D أكثر فوضوية من المسطح؟

لديه مجال أوسع للحركة: أربع زوايا بدلًا من اثنتين. كلاهما فوضوي حين يتأرجح بسعة كبيرة. أما التأرجحات الصغيرة لأيٍّ منهما فتبقى منتظمة وتبدو مزيجًا من بضعة إيقاعات ثابتة.

لماذا تبقى قراءة الطاقة عند 100%؟

من دون التخميد لا تغادر النظامَ أي طاقة، والخطوات صغيرة ودقيقة بما يكفي ليبقى الانحراف أقل من جزء من ألف من واحد في المئة على مدى دقائق.

ماذا يفعل التخميد؟

يضيف مقاومة هواء تزداد مع السرعة. تتقلص التأرجحات، وتنخفض قراءة الطاقة، وفي النهاية يتدلى البندول ساكنًا.

هل يرفع PictorX المحاكاة؟

لا. تعمل على لوحة رسم في متصفحك. «حفظ» ينزّل ملف PNG، و«تحرير» يفتح تلك الصورة في محرر PictorX.