Sobre el péndulo doble 3D | Péndulos esféricos y caos

Del plano al espacio

El péndulo doble clásico oscila en un único plano, y dos ángulos lo describen. Deja que ambos brazos oscilen libremente en cualquier dirección y cada masa necesita dos ángulos, así que cuatro en total. Cada masa sigue manteniendo una distancia fija: la superior respecto al pivote, la inferior respecto a la masa superior. Un péndulo que se suelta sin torsión lateral y sin rotación se queda en su plano para siempre, porque nada lo empuja fuera de él.

Las fuerzas

Cada masa siente la gravedad y el tirón de sus brazos. Un brazo solo puede tirar o empujar a lo largo de su propia longitud, con la fuerza que haga falta para mantener esa longitud fija. Estas fuerzas no se conocen de antemano; cambian de un momento a otro. En cada paso la app calcula las fuerzas de ambos brazos a partir de la condición de que las longitudes de los brazos no cambian, y luego mueve las masas con el método clásico de Runge–Kutta de cuarto orden, 600 pasos por segundo simulado.

Lo que no cambia

Se conservan dos magnitudes. La energía total, cinética más potencial, no cambia porque los brazos nunca cambian de longitud, así que las fuerzas en ellos no añaden ni quitan energía en total. El momento angular alrededor de la vertical que pasa por el pivote tampoco cambia: la gravedad apunta directamente hacia abajo y el pivote no se mueve, así que nada puede imprimir al péndulo un giro alrededor del eje vertical. El panel muestra ambas.

Conos uniformes

También hay un movimiento ordenado. Inclina los dos brazos en un mismo plano vertical justo en los ángulos adecuados y haz girar todo el péndulo alrededor de la vertical justo al ritmo adecuado, y la gravedad, las fuerzas de los brazos y el giro se equilibran exactamente. Entonces las masas trazan dos círculos horizontales para siempre. El favorito Cono uniforme parte de un equilibrio así: con el brazo superior a 35°, el inferior queda a unos 44° y el péndulo gira a unos 2,7 radianes por segundo.

El caos y el gemelo

Para la mayoría de los inicios el movimiento es caótico. Dos péndulos que empiezan a un milímetro de distancia siguen juntos unos segundos, luego la distancia se multiplica cada par de segundos hasta que los dos no tienen nada en común. En el favorito Efecto mariposa, el gemelo empieza a 1 mm y en menos de diez segundos está a más de un metro. El ritmo de ese crecimiento se mide con el exponente de Lyapunov.

Pruébalo en PictorX

Abre el péndulo doble 3D y ya está oscilando. Arrastra para girar la vista, usa la rueda para hacer zoom y elige En ángulo, Desde arriba o De frente en Vista. El Ángulo de Péndulo 1 y Péndulo 2 fija cuánto se levanta cada brazo, Torsión gira el brazo inferior hacia un lado y Rotación da un impulso alrededor de la vertical. Activa Gemelo para ver el caos en acción y luego guarda un PNG.

Preguntas frecuentes

¿El péndulo doble 3D es más caótico que el plano?

Tiene más margen de movimiento: cuatro ángulos en lugar de dos. Los dos son caóticos cuando oscilan con amplitud. Las oscilaciones pequeñas de cualquiera de ellos siguen siendo regulares y parecen una mezcla de unos pocos ritmos constantes.

¿Por qué el valor de Energía se queda en el 100 %?

Sin Amortiguación no sale energía del sistema, y los pasos son lo bastante pequeños y precisos para que la deriva se quede por debajo de una milésima de punto porcentual durante minutos.

¿Qué hace la Amortiguación?

Añade una resistencia del aire que crece con la velocidad. Las oscilaciones se encogen, la energía del panel baja y al final el péndulo cuelga en reposo.

¿PictorX sube la simulación?

No. Se ejecuta en un lienzo en tu navegador. Guardar descarga un PNG y Editar abre esa imagen en el editor de PictorX.