Le double pendule 3D | Pendules sphériques et chaos

Du plan à l’espace

Le double pendule classique oscille dans un seul plan, et deux angles le décrivent. Laissez les deux bras osciller librement dans toutes les directions et chaque masse a besoin de deux angles, soit quatre en tout. Chaque masse garde toujours une distance fixe : la masse supérieure par rapport au pivot, la masse inférieure par rapport à la masse supérieure. Un pendule lâché sans torsion latérale et sans rotation reste dans son plan pour toujours, car rien ne l’en fait sortir.

Les forces

Chaque masse subit la gravité et la traction de ses bras. Un bras ne peut que tirer ou pousser dans le sens de sa propre longueur, avec la force, quelle qu’elle soit, qui maintient cette longueur fixe. Ces forces ne sont pas connues à l’avance ; elles changent d’un instant à l’autre. À chaque pas, l’application calcule les forces des deux bras à partir de la condition que la longueur des bras ne change pas, puis déplace les masses avec la méthode de Runge–Kutta classique d’ordre quatre, 600 pas par seconde simulée.

Ce qui ne change pas

Deux grandeurs sont conservées. L’énergie totale, cinétique plus potentielle, ne change pas, car les bras ne changent jamais de longueur : les forces qu’ils exercent n’ajoutent ni ne retirent d’énergie au total. Le moment cinétique autour de la verticale passant par le pivot ne change pas non plus : la gravité pointe droit vers le bas et le pivot ne bouge pas, donc rien ne peut entraîner le pendule en rotation autour de l’axe vertical. L’affichage montre les deux.

Cônes uniformes

Il existe aussi un mouvement ordonné. Inclinez les deux bras dans un même plan vertical exactement aux bons angles et faites tourner tout le pendule autour de la verticale juste à la bonne vitesse : la gravité, les forces des bras et la rotation s’équilibrent alors parfaitement. Les masses décrivent ensuite deux cercles horizontaux pour toujours. Le favori Cône uniforme part d’un tel équilibre : avec le bras supérieur à 35°, le bras inférieur se place à environ 44° et le pendule tourne à environ 2,7 radians par seconde.

Le chaos et le jumeau

Pour la plupart des départs, le mouvement est chaotique. Deux pendules qui partent à un millimètre l’un de l’autre restent ensemble quelques secondes, puis l’écart se multiplie toutes les deux ou trois secondes, jusqu’à ce que les deux n’aient plus rien en commun. Dans le favori Effet papillon, le jumeau part à 1 mm et se retrouve à plus d’un mètre en moins de dix secondes. Le taux de cette croissance se mesure par l’exposant de Lyapunov.

L’essayer dans PictorX

Ouvrez le double pendule 3D : il oscille déjà. Faites glisser pour faire tourner la vue, faites défiler pour zoomer, et choisissez En biais, D’en haut ou De face dans Affichage. L’Angle de Pendule 1 et de Pendule 2 règle de combien chaque bras est levé, Torsion fait pivoter le bras inférieur sur le côté, et Rotation donne une impulsion autour de la verticale. Activez Jumeau pour voir le chaos à l’œuvre, puis enregistrez un PNG.

Questions fréquemment posées

Le double pendule 3D est-il plus chaotique que le double pendule plan ?

Il a plus de liberté de mouvement : quatre angles au lieu de deux. Les deux sont chaotiques quand ils oscillent largement. Les petites oscillations de l’un comme de l’autre restent régulières et ressemblent à un mélange de quelques rythmes constants.

Pourquoi la valeur Énergie reste-t-elle à 100 % ?

Sans Amortissement, aucune énergie ne quitte le système, et les pas sont assez petits et précis pour que la dérive reste sous un millième de pour cent pendant des minutes.

Que fait l’Amortissement ?

Il ajoute une résistance de l’air qui augmente avec la vitesse. Les oscillations rétrécissent, l’énergie affichée baisse, et à la fin le pendule pend immobile.

PictorX envoie-t-il la simulation ?

Non. Elle s’exécute sur un canevas dans votre navigateur. Enregistrer télécharge un PNG, et Modifier ouvre cette image dans l’éditeur PictorX.