Über das 3D-Doppelpendel | Sphärische Pendel und Chaos

Von der Ebene in den Raum

Das klassische Doppelpendel schwingt in einer flachen Ebene, und zwei Winkel beschreiben es. Lassen Sie beide Arme frei in jede Richtung schwingen, und jede Kugel braucht zwei Winkel, also insgesamt vier. Jede Kugel behält dabei einen festen Abstand: die obere zum Aufhängepunkt, die untere zur oberen Kugel. Ein Pendel, das ohne seitliche Verdrehung und ohne Rotation losgelassen wird, bleibt für immer in seiner Ebene, weil nichts es herausdrückt.

Die Kräfte

Auf jede Kugel wirken die Schwerkraft und der Zug ihrer Arme. Ein Arm kann nur entlang seiner eigenen Länge ziehen oder drücken, mit genau der Kraft, die diese Länge konstant hält. Diese Kräfte sind nicht im Voraus bekannt; sie ändern sich von Moment zu Moment. Bei jedem Schritt berechnet die App beide Armkräfte aus der Bedingung, dass sich die Armlängen nicht ändern, und bewegt dann die Kugeln mit dem klassischen Runge–Kutta-Verfahren vierter Ordnung, 600 Schritte pro simulierter Sekunde.

Was gleich bleibt

Zwei Größen bleiben erhalten. Die Gesamtenergie, kinetische plus potenzielle Energie, bleibt gleich, weil die Arme nie ihre Länge ändern, sodass die Kräfte in ihnen insgesamt keine Energie zuführen oder abziehen. Auch der Drehimpuls um die Senkrechte durch den Aufhängepunkt bleibt gleich: Die Schwerkraft zeigt senkrecht nach unten, und der Aufhängepunkt bewegt sich nicht, also kann nichts das Pendel um die senkrechte Achse verdrehen. Die Anzeige zeigt beide.

Gleichmäßige Kegel

Es gibt auch eine geordnete Bewegung. Neigen Sie beide Arme in einer senkrechten Ebene um genau die richtigen Winkel und drehen Sie das ganze Pendel genau richtig schnell um die Senkrechte, dann halten sich Schwerkraft, Armkräfte und Drehung genau die Waage. Die Kugeln ziehen dann für immer zwei waagerechte Kreise. Der Favorit Gleichmäßiger Kegel startet aus einem solchen Gleichgewicht: Mit dem oberen Arm bei 35° steht der untere Arm bei etwa 44°, und das Pendel dreht sich mit etwa 2,7 Radiant pro Sekunde.

Chaos und der Zwilling

Bei den meisten Starts ist die Bewegung chaotisch. Zwei Pendel, die einen Millimeter voneinander entfernt starten, bleiben ein paar Sekunden zusammen, dann vervielfacht sich der Abstand alle paar Sekunden, bis die beiden nichts mehr gemeinsam haben. Im Favoriten Schmetterlingseffekt startet der Zwilling 1 mm daneben und ist innerhalb von zehn Sekunden mehr als einen Meter entfernt. Wie schnell dieser Abstand wächst, misst der Ljapunow-Exponent.

In PictorX ausprobieren

Öffnen Sie das 3D-Doppelpendel, und es schwingt bereits. Ziehen Sie, um die Ansicht zu drehen, scrollen Sie zum Zoomen, und wählen Sie unter Ansicht Schräg, Von oben oder Von vorn. Der Winkel von Pendel 1 und Pendel 2 legt fest, wie weit jeder Arm angehoben wird, Verdrehung dreht den unteren Arm zur Seite, und Rotation gibt einen Schwung um die Senkrechte. Schalten Sie Zwilling ein, um das Chaos bei der Arbeit zu sehen, und speichern Sie dann ein PNG.

Häufig gestellte Fragen

Ist das 3D-Doppelpendel chaotischer als das flache?

Es hat mehr Bewegungsspielraum: vier Winkel statt zwei. Beide sind chaotisch, wenn sie weit ausschwingen. Kleine Schwingungen bleiben bei beiden regelmäßig und sehen aus wie eine Mischung aus wenigen gleichmäßigen Rhythmen.

Warum bleibt der Wert Energie bei 100 %?

Ohne Dämpfung verlässt keine Energie das System, und die Schritte sind so klein und genau, dass die Drift über Minuten unter einem Tausendstel Prozent bleibt.

Was bewirkt Dämpfung?

Sie fügt einen Luftwiderstand hinzu, der mit der Geschwindigkeit wächst. Die Schwingungen werden kleiner, die Energieanzeige sinkt, und am Ende hängt das Pendel still.

Lädt PictorX die Simulation hoch?

Nein. Sie läuft auf einer Leinwand in Ihrem Browser. Speichern lädt ein PNG herunter, und Bearbeiten öffnet das Bild im PictorX-Editor.