3D दोहरे पेंडुलम के बारे में | गोलीय पेंडुलम और अराजकता

तल से तीन आयामों तक

क्लासिक दोहरा पेंडुलम एक सपाट तल में झूलता है, और उसे दो कोणों से बताया जा सकता है। दोनों भुजाओं को किसी भी दिशा में झूलने के लिए स्वतंत्र कर दें, तो हर गोलक को दो कोण चाहिए, यानी कुल चार। फिर भी हर गोलक एक निश्चित दूरी बनाए रखता है: ऊपरी गोलक धुरी से, निचला गोलक ऊपरी गोलक से। बिना बगल की मरोड़ और बिना घूर्णन के छोड़ा गया पेंडुलम हमेशा अपने तल में ही रहता है, क्योंकि उसे बाहर धकेलने वाला कुछ नहीं है।

बल

हर गोलक पर गुरुत्वाकर्षण और उससे जुड़ी भुजाओं का खिंचाव लगता है। एक भुजा केवल अपनी लंबाई की दिशा में खींच या धकेल सकती है, उतने बल से जितना उस लंबाई को स्थिर रखने के लिए ज़रूरी हो। ये बल पहले से ज्ञात नहीं होते; ये पल-पल बदलते हैं। हर चरण में ऐप इस शर्त से दोनों भुजाओं के बल निकालता है कि भुजाओं की लंबाई नहीं बदलती, फिर गोलकों को क्लासिक चौथे क्रम की रुंगे–कुट्टा विधि से आगे बढ़ाता है, सिमुलेशन के हर सेकंड में 600 चरण।

क्या नहीं बदलता

दो राशियाँ संरक्षित रहती हैं। कुल ऊर्जा, यानी गतिज और स्थितिज ऊर्जा का योग, नहीं बदलती क्योंकि भुजाओं की लंबाई कभी नहीं बदलती, इसलिए उनमें लगे बल कुल मिलाकर न ऊर्जा जोड़ते हैं, न घटाते हैं। धुरी से गुज़रने वाले ऊर्ध्वाधर अक्ष के परितः कोणीय संवेग भी नहीं बदलता: गुरुत्वाकर्षण सीधे नीचे की ओर है और धुरी हिलती नहीं, इसलिए कुछ भी पेंडुलम को ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर ऐंठ नहीं सकता। रीडआउट दोनों को दिखाता है।

स्थिर शंकु

एक व्यवस्थित गति भी है। दोनों भुजाओं को एक ही ऊर्ध्वाधर तल में ठीक सही कोणों पर झुकाएँ और पूरे पेंडुलम को ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर ठीक सही दर से घुमाएँ, तो गुरुत्वाकर्षण, भुजाओं के बल और घुमाव ठीक-ठीक संतुलित हो जाते हैं। तब गोलक हमेशा के लिए दो क्षैतिज वृत्त बनाते रहते हैं। पसंदीदा “स्थिर शंकु” ऐसे ही संतुलन से शुरू होता है: ऊपरी भुजा 35° पर हो, तो निचली भुजा लगभग 44° पर रहती है और पेंडुलम लगभग 2.7 रेडियन प्रति सेकंड की दर से घूमता है।

अराजकता और जुड़वाँ

ज़्यादातर शुरुआतों के लिए गति अराजक होती है। एक मिलीमीटर के अंतर से शुरू हुए दो पेंडुलम कुछ सेकंड साथ रहते हैं, फिर हर दो-एक सेकंड में अंतर कई गुना बढ़ता जाता है, जब तक दोनों में कुछ भी समान नहीं रहता। पसंदीदा “तितली प्रभाव” में जुड़वाँ 1 mm दूर से शुरू होता है और दस सेकंड के भीतर एक मीटर से ज़्यादा दूर निकल जाता है। इस वृद्धि की दर ल्यापुनोव घातांक से मापी जाती है।

PictorX में आज़माएँ

3D दोहरा पेंडुलम खोलें और वह पहले से झूल रहा होता है। दृश्य घुमाने के लिए खींचें, ज़ूम के लिए स्क्रॉल करें, और “दृश्य” में “तिरछा”, “ऊपर से” या “सामने से” चुनें। पेंडुलम 1 और पेंडुलम 2 का कोण तय करता है कि हर भुजा कितनी उठाई जाए, मरोड़ निचली भुजा को बगल की ओर घुमाती है, और घूर्णन ऊर्ध्वाधर अक्ष के चारों ओर एक धक्का देता है। अराजकता को काम करते देखने के लिए जुड़वाँ चालू करें, फिर PNG सहेजें।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या 3D दोहरा पेंडुलम सपाट वाले से ज़्यादा अराजक है?

उसके पास चलने के लिए ज़्यादा जगह है: दो की जगह चार कोण। चौड़े झूलों में दोनों अराजक होते हैं। दोनों के छोटे झूले नियमित रहते हैं और कुछ स्थिर लयों के मेल जैसे दिखते हैं।

ऊर्जा का रीडआउट 100% पर क्यों बना रहता है?

अवमंदन के बिना कोई ऊर्जा तंत्र से बाहर नहीं जाती, और चरण इतने छोटे और सटीक हैं कि कई मिनटों में भी विचलन एक प्रतिशत के हज़ारवें हिस्से से नीचे रहता है।

अवमंदन क्या करता है?

यह हवा का प्रतिरोध जोड़ता है जो चाल के साथ बढ़ता है। झूले छोटे होते जाते हैं, ऊर्जा का रीडआउट गिरता है, और अंत में पेंडुलम स्थिर लटक जाता है।

क्या PictorX सिमुलेशन अपलोड करता है?

नहीं। यह आपके ब्राउज़र के कैनवास पर चलता है। सहेजें से PNG डाउनलोड होता है, और संपादित करें से वह चित्र PictorX संपादक में खुलता है।