Sobre o pêndulo duplo 3D | Pêndulos esféricos e caos

Do plano ao espaço

O pêndulo duplo clássico oscila em um plano, e dois ângulos o descrevem. Deixe os dois braços livres para oscilar em qualquer direção e cada massa precisa de dois ângulos, quatro ao todo. Cada massa continua a uma distância fixa: a de cima, do pivô; a de baixo, da massa de cima. Um pêndulo solto sem torção lateral e sem giro fica no seu plano para sempre, porque nada o empurra para fora dele.

As forças

Cada massa sente a gravidade e a tração dos seus braços. Um braço só pode puxar ou empurrar ao longo do próprio comprimento, com a força que for necessária para manter esse comprimento fixo. Essas forças não são conhecidas de antemão; elas mudam a cada instante. Em cada passo, o aplicativo calcula as forças nos dois braços a partir da condição de que os comprimentos dos braços não mudam e depois move as massas com o clássico método de Runge–Kutta de quarta ordem, com 600 passos por segundo simulado.

O que não muda

Duas grandezas se conservam. A energia total, cinética mais potencial, não muda porque os braços nunca mudam de comprimento, então as forças neles, no total, não adicionam nem retiram energia. O momento angular em relação à vertical que passa pelo pivô também não muda: a gravidade aponta verticalmente para baixo e o pivô não se move, então nada pode torcer o pêndulo em torno do eixo vertical. O painel de informações mostra as duas.

Cones estáveis

Também existe um movimento ordenado. Incline os dois braços em um mesmo plano vertical nos ângulos certos e gire o pêndulo inteiro em torno da vertical na velocidade certa, e a gravidade, as forças nos braços e a rotação se equilibram exatamente. As massas então traçam dois círculos horizontais para sempre. O favorito Cone estável parte de um equilíbrio assim: com o braço superior a 35°, o braço inferior fica a cerca de 44° e o pêndulo gira a cerca de 2,7 radianos por segundo.

O caos e o gêmeo

Na maioria das condições iniciais, o movimento é caótico. Dois pêndulos que começam a um milímetro de distância ficam juntos por alguns segundos; depois a distância entre eles se multiplica muitas vezes a cada dois segundos, mais ou menos, até que os dois não tenham mais nada em comum. No favorito Efeito borboleta, o gêmeo começa a 1 mm de distância e, em dez segundos, já está a mais de um metro. A taxa desse crescimento é medida pelo expoente de Lyapunov.

Experimente no PictorX

Abra o Pêndulo duplo 3D e ele já está oscilando. Arraste para girar a vista, role para ampliar e escolha Inclinado, De cima ou De frente em Visualizar. O Ângulo de Pêndulo 1 e Pêndulo 2 define quanto cada braço é levantado, Torção gira o braço inferior para o lado e Giro dá um impulso em torno da vertical. Ative Gêmeo para ver o caos em ação e depois salve um PNG.

Perguntas frequentes

O pêndulo duplo 3D é mais caótico que o plano?

Ele tem mais espaço para se mover: quatro ângulos em vez de dois. Os dois são caóticos quando oscilam com grande amplitude. Oscilações pequenas de qualquer um deles continuam regulares e parecem uma mistura de alguns ritmos constantes.

Por que o valor de Energia fica em 100%?

Sem Amortecimento, nenhuma energia sai do sistema, e os passos são pequenos e precisos o bastante para que o desvio fique abaixo de um milésimo de por cento ao longo de minutos.

O que faz o Amortecimento?

Ele adiciona um arrasto do ar que cresce com a velocidade. As oscilações diminuem, o valor de Energia cai e, no fim, o pêndulo fica pendurado em repouso.

O PictorX envia a simulação?

Não. Ela roda numa tela no seu navegador. Salvar baixa um PNG, e Editar abre essa imagem no editor do PictorX.