Om 3D-dubbelpendeln | Sfäriska pendlar och kaos

Från ett plan till rummet

Den klassiska dubbelpendeln svänger i ett plan, och två vinklar beskriver den. Låt båda armarna svänga fritt åt alla håll så behöver varje lod två vinklar, alltså fyra totalt. Varje lod håller fortfarande ett fast avstånd: det övre till upphängningen, det nedre till det övre lodet. En pendel som släpps utan vridning åt sidan och utan spinn stannar i sitt plan för alltid, eftersom inget knuffar ut den ur det.

Krafterna

Varje lod påverkas av gravitationen och av dragningen från sina armar. En arm kan bara dra eller trycka längs sin egen längd, med just den kraft som håller längden fast. Krafterna är inte kända i förväg; de ändras från ögonblick till ögonblick. I varje steg räknar appen ut båda armkrafterna ur villkoret att armarnas längder inte ändras, och flyttar sedan loden med den klassiska Runge–Kutta-metoden av fjärde ordningen, 600 steg per simulerad sekund.

Det som inte ändras

Två storheter bevaras. Den totala energin, kinetisk plus potentiell, förblir densamma eftersom armarna aldrig ändrar längd, så krafterna i dem varken tillför eller tar bort energi totalt sett. Rörelsemängdsmomentet kring vertikalen genom upphängningen förblir också detsamma: gravitationen pekar rakt nedåt och upphängningen rör sig inte, så inget kan vrida pendeln runt den vertikala axeln. Infopanelen visar båda.

Stabila koner

Det finns också en ordnad rörelse. Luta båda armarna i samma vertikala plan i precis rätt vinklar och vrid hela pendeln runt vertikalen med precis rätt fart, så balanserar gravitationen, armkrafterna och rotationen varandra exakt. Loden ritar då två vågräta cirklar för alltid. Favoriten Stabil kon startar från en sådan balans: med den övre armen på 35° står den nedre armen på ungefär 44°, och pendeln roterar med ungefär 2,7 radianer per sekund.

Kaos och tvillingen

För de flesta starter är rörelsen kaotisk. Två pendlar som startar en millimeter isär håller ihop några sekunder, sedan mångdubblas avståndet med ett par sekunders mellanrum tills de två inte har något gemensamt. I favoriten Fjärilseffekt startar tvillingen 1 mm ifrån och har inom tio sekunder hamnat mer än en meter bort. Hur snabbt avståndet växer mäts med Lyapunov-exponenten.

Prova det i PictorX

Öppna 3D-dubbelpendeln så svänger den redan. Dra för att vrida vyn, scrolla för att zooma och välj Snett, Ovanifrån eller Framifrån under Visa. Vinkel för Pendel 1 och Pendel 2 anger hur högt varje arm lyfts, Vridning vrider den nedre armen åt sidan och Spinn ger en knuff runt vertikalen. Slå på Tvilling för att se kaos i arbete, och spara sedan en PNG.

Ofta ställda frågor

Är 3D-dubbelpendeln mer kaotisk än den plana?

Den har mer utrymme att röra sig: fyra vinklar i stället för två. Båda är kaotiska när de svänger brett. Små svängningar förblir regelbundna hos båda och ser ut som en blandning av några få jämna rytmer.

Varför stannar Energi på 100%?

Utan Dämpning lämnar ingen energi systemet, och stegen är så små och noggranna att avvikelsen håller sig under en tusendels procent under flera minuter.

Vad gör Dämpning?

Den lägger till luftmotstånd som växer med farten. Svängningarna krymper, Energi sjunker, och till slut hänger pendeln stilla.

Laddar PictorX upp simuleringen?

Nej. Den körs på en canvas i webbläsaren. Spara laddar ner en PNG, och Redigera öppnar bilden i PictorX-redigeraren.