Despre pendulul dublu 3D | Pendule sferice și haos

Din plan în spațiu

Pendulul dublu clasic oscilează într-un plan, iar două unghiuri îl descriu. Lasă ambele brațe libere să oscileze în orice direcție și fiecare greutate are nevoie de două unghiuri, deci patru în total. Fiecare greutate păstrează în continuare o distanță fixă: cea de sus față de punctul de suspensie, cea de jos față de greutatea de sus. Un pendul lăsat liber fără răsucire laterală și fără rotire rămâne în planul lui pentru totdeauna, pentru că nimic nu-l împinge afară din el.

Forțele

Asupra fiecărei greutăți acționează gravitația și forța cu care o trag brațele ei. Un braț poate doar să tragă sau să împingă de-a lungul propriei lungimi, cu exact forța de care e nevoie ca lungimea să rămână fixă. Aceste forțe nu se cunosc dinainte; se schimbă de la o clipă la alta. La fiecare pas, aplicația calculează ambele forțe din brațe din condiția ca lungimile brațelor să nu se schimbe, apoi mută greutățile cu metoda clasică Runge–Kutta de ordinul patru, 600 de pași pe secundă simulată.

Ce rămâne la fel

Se conservă două mărimi. Energia totală, cinetică plus potențială, rămâne aceeași pentru că brațele nu își schimbă niciodată lungimea, așa că forțele din ele, per total, nu adaugă și nu scot energie. Momentul cinetic față de verticala care trece prin punctul de suspensie rămâne și el același: gravitația e îndreptată vertical în jos, iar punctul de suspensie nu se mișcă, deci nimic nu poate răsuci pendulul în jurul axei verticale. Panoul de informații le arată pe amândouă.

Conuri stabile

Există și o mișcare ordonată. Înclină ambele brațe în același plan vertical la exact unghiurile potrivite și rotește tot pendulul în jurul verticalei cu exact viteza potrivită, iar gravitația, forțele din brațe și rotația se echilibrează perfect. Greutățile descriu atunci două cercuri orizontale pentru totdeauna. Favoritul Con stabil pornește dintr-un astfel de echilibru: cu brațul de sus la 35°, brațul de jos stă la circa 44°, iar pendulul se rotește cu circa 2,7 radiani pe secundă.

Haosul și geamănul

Pentru cele mai multe porniri, mișcarea este haotică. Două pendule care pornesc la un milimetru unul de altul rămân împreună câteva secunde, apoi distanța dintre ele se înmulțește de multe ori cam la fiecare două secunde, până când cele două nu mai au nimic în comun. În favoritul Efectul fluturelui, geamănul pornește la 1 mm distanță și ajunge la peste un metru în decurs de zece secunde. Ritmul acestei creșteri se măsoară prin exponentul Lyapunov.

Încearcă-l în PictorX

Deschide Pendulul dublu 3D și el oscilează deja. Trage ca să rotești vizualizarea, derulează pentru zoom și alege Oblic, De sus sau Din față la Vizualizare. Setarea Unghi din Pendul 1 și Pendul 2 stabilește cât de sus e ridicat fiecare braț, setarea Răsucire rotește lateral brațul de jos, iar setarea Rotire dă un impuls în jurul verticalei. Activează opțiunea Geamăn ca să vezi haosul la lucru, apoi salvează un PNG.

Întrebări frecvente

Este pendulul dublu 3D mai haotic decât cel plan?

Are mai mult loc de mișcare: patru unghiuri în loc de două. Ambele sunt haotice când oscilează larg. Oscilațiile mici ale oricăruia dintre ele rămân regulate și arată ca un amestec de câteva ritmuri constante.

De ce rămâne valoarea Energie la 100%?

Fără Amortizare nu iese energie din sistem, iar pașii sunt destul de mici și de preciși încât abaterea rămâne sub o miime de procent timp de minute întregi.

Ce face setarea Amortizare?

Adaugă o rezistență a aerului care crește cu viteza. Oscilațiile se micșorează, valoarea Energie scade și, în final, pendulul atârnă nemișcat.

Încarcă PictorX simularea?

Nu. Rulează pe o pânză în browser. Butonul Salvează descarcă un PNG, iar Editează deschide imaginea în editorul PictorX.