Over de 3D dubbele slinger | Sferische slingers en chaos

Van een vlak naar de ruimte

De klassieke dubbele slinger zwaait in één plat vlak, en twee hoeken beschrijven hem. Laat beide armen vrij in elke richting zwaaien en elke kogel heeft twee hoeken nodig, dus vier in totaal. Elke kogel houdt nog steeds een vaste afstand: de bovenste tot het ophangpunt, de onderste tot de bovenste kogel. Een slinger die zonder zijdelingse verdraaiing en zonder rotatie wordt losgelaten, blijft voor altijd in zijn vlak, omdat niets hem eruit duwt.

De krachten

Elke kogel voelt de zwaartekracht en de trekkracht van zijn armen. Een arm kan alleen trekken of duwen in zijn eigen lengterichting, met precies de kracht die nodig is om die lengte vast te houden. Deze krachten zijn niet vooraf bekend; ze veranderen van moment tot moment. Bij elke stap berekent de app beide armkrachten uit de voorwaarde dat de armlengtes niet veranderen, en verplaatst dan de kogels met de klassieke Runge–Kuttamethode van de vierde orde, 600 stappen per gesimuleerde seconde.

Wat gelijk blijft

Twee grootheden blijven behouden. De totale energie, kinetische plus potentiële, blijft gelijk omdat de armen nooit van lengte veranderen, dus de krachten erin voegen in totaal geen energie toe en halen er ook geen af. Het impulsmoment rond de verticaal door het ophangpunt blijft ook gelijk: de zwaartekracht wijst recht naar beneden en het ophangpunt beweegt niet, dus niets kan de slinger rond de verticale as verdraaien. De meetwaarden tonen ze allebei.

Gelijkmatige kegels

Er is ook een ordelijke beweging. Kantel beide armen in één verticaal vlak onder precies de juiste hoeken en draai de hele slinger met precies het juiste tempo rond de verticaal, dan houden zwaartekracht, armkrachten en draaiing elkaar precies in evenwicht. De kogels beschrijven dan voor altijd twee horizontale cirkels. De favoriet Gelijkmatige kegel start vanuit zo’n evenwicht: met de bovenste arm op 35° staat de onderste arm op ongeveer 44° en draait de slinger met ongeveer 2,7 radialen per seconde.

Chaos en de tweeling

Bij de meeste starts is de beweging chaotisch. Twee slingers die een millimeter van elkaar starten, blijven een paar seconden samen, daarna wordt het verschil om de paar seconden vele malen groter, tot de twee niets meer met elkaar gemeen hebben. In de favoriet Vlindereffect start de tweelingslinger 1 mm verderop en zit hij binnen tien seconden meer dan een meter ernaast. Hoe snel dat verschil groeit, wordt gemeten met de Lyapunov-exponent.

Probeer het in PictorX

Open de 3D dubbele slinger en hij zwaait al. Sleep om de weergave te draaien, scrol om te zoomen, en kies Schuin, Van boven of Van voren onder Weergave. De Hoek van Slinger 1 en Slinger 2 bepaalt hoe ver elke arm wordt opgetild, Verdraaiing draait de onderste arm opzij, en Rotatie geeft een duw rond de verticaal. Zet Tweeling aan om chaos aan het werk te zien, en sla daarna een PNG op.

Veelgestelde vragen

Is de 3D dubbele slinger chaotischer dan de platte?

Hij heeft meer bewegingsruimte: vier hoeken in plaats van twee. Beide zijn chaotisch als ze wijd uitzwaaien. Kleine zwaaien blijven bij allebei regelmatig en lijken op een mix van een paar vaste ritmes.

Waarom blijft de waarde Energie op 100% staan?

Zonder Demping verlaat er geen energie het systeem, en de stappen zijn klein en nauwkeurig genoeg om de afwijking minutenlang onder een duizendste procent te houden.

Wat doet Demping?

Het voegt luchtweerstand toe die groeit met de snelheid. De zwaaien worden kleiner, de energie in de meetwaarden daalt, en uiteindelijk hangt de slinger stil.

Uploadt PictorX de simulatie?

Nee. Ze draait op een canvas in je browser. Opslaan downloadt een PNG, en Bewerken opent dat beeld in de PictorX-editor.