Om 3D-dobbeltpendulet | Sfæriske penduler og kaos

Fra et plan til rummet

Det klassiske dobbeltpendul svinger i et fladt plan, og to vinkler beskriver det. Lad begge arme svinge frit i alle retninger, så skal hvert lod bruge to vinkler, fire i alt. Hvert lod holder stadig en fast afstand: det øverste til ophænget, det nederste til det øverste lod. Et pendul, der slippes uden vridning til siden og uden spin, bliver i sit plan for altid, fordi intet skubber det ud af det.

Kræfterne

Hvert lod påvirkes af tyngdekraften og af trækket fra sine arme. En arm kan kun trække eller skubbe i sin egen længderetning, med netop den kraft, der holder længden fast. Disse kræfter kendes ikke på forhånd; de ændrer sig fra øjeblik til øjeblik. Ved hvert trin beregner appen begge armkræfter ud fra betingelsen om, at armenes længder ikke ændrer sig, og flytter derefter lodderne med den klassiske fjerdeordens Runge–Kutta-metode, 600 trin pr. simuleret sekund.

Det, der ikke ændrer sig

To størrelser er bevarede. Den samlede energi, kinetisk plus potentiel, forbliver den samme, fordi armene aldrig ændrer længde, så kræfterne i dem samlet set hverken tilfører eller fjerner energi. Impulsmomentet omkring den lodrette linje gennem ophænget forbliver også det samme: tyngdekraften peger lodret nedad, og ophænget bevæger sig ikke, så intet kan vride pendulet rundt om den lodrette akse. Infopanelet viser begge.

Stabile kegler

Der findes også en ordnet bevægelse. Vip begge arme i samme lodrette plan i præcis de rigtige vinkler, og drej hele pendulet rundt om den lodrette akse med præcis den rigtige fart, så er tyngdekraften, armkræfterne og drejningen nøjagtigt i balance. Lodderne tegner så to vandrette cirkler for altid. Favoritten Stabil kegle starter fra sådan en balance: med den øverste arm på 35° står den nederste arm på cirka 44°, og pendulet drejer med cirka 2,7 radianer i sekundet.

Kaos og tvillingen

For de fleste starter er bevægelsen kaotisk. To penduler, der starter en millimeter fra hinanden, holder sammen i nogle sekunder; derefter mangedobles afstanden med et par sekunders mellemrum, indtil de to intet har til fælles. I favoritten Sommerfugleeffekt starter tvillingen 1 mm væk og er mere end en meter væk inden for ti sekunder. Hvor hurtigt afstanden vokser, måles med Lyapunov-eksponenten.

Prøv det i PictorX

Åbn 3D-dobbeltpendulet, så svinger det allerede. Træk for at dreje visningen, rul for at zoome, og vælg Skrå, Ovenfra eller Forfra under Vis. Vinkel for Pendul 1 og Pendul 2 bestemmer, hvor højt hver arm løftes, Vridning drejer den nederste arm til siden, og Spin giver et skub rundt om den lodrette akse. Slå Tvilling til for at se kaos i aktion, og gem derefter et PNG.

Ofte stillede spørgsmål

Er 3D-dobbeltpendulet mere kaotisk end det flade?

Det har mere plads at bevæge sig i: fire vinkler i stedet for to. Begge er kaotiske, når de svinger vidt ud. Små svingninger forbliver regelmæssige i dem begge og ligner en blanding af nogle få faste rytmer.

Hvorfor bliver Energi på 100%?

Uden Dæmpning forlader ingen energi systemet, og trinene er så små og nøjagtige, at afvigelsen holder sig under en tusindedel procent over flere minutter.

Hvad gør Dæmpning?

Den tilføjer luftmodstand, der vokser med farten. Svingningerne bliver mindre, Energi falder, og til sidst hænger pendulet stille.

Uploader PictorX simulationen?

Nej. Den kører på et lærred i din browser. Gem henter et PNG, og Rediger åbner billedet i PictorX-editoren.