Về con lắc kép 3D | Con lắc cầu và hỗn loạn

Từ mặt phẳng ra không gian

Con lắc kép cổ điển đung đưa trong một mặt phẳng, và hai góc là đủ để mô tả nó. Cho cả hai cánh tay tự do đung đưa theo mọi hướng thì mỗi quả nặng cần hai góc, tổng cộng là bốn. Mỗi quả nặng vẫn giữ một khoảng cách cố định: quả trên với điểm treo, quả dưới với quả trên. Một con lắc được thả mà không xoắn sang ngang và không quay sẽ ở mãi trong mặt phẳng của nó, vì không có gì đẩy nó ra ngoài.

Các lực

Mỗi quả nặng chịu trọng lực và lực kéo của các cánh tay nối với nó. Một cánh tay chỉ có thể kéo hoặc đẩy dọc theo chiều dài của chính nó, với đúng độ lớn lực cần để giữ chiều dài đó không đổi. Các lực này không biết trước; chúng thay đổi từng khoảnh khắc. Ở mỗi bước, ứng dụng tính cả hai lực trong cánh tay từ điều kiện chiều dài cánh tay không đổi, rồi di chuyển các quả nặng bằng phương pháp Runge–Kutta bậc bốn cổ điển, 600 bước cho mỗi giây mô phỏng.

Những gì không đổi

Có hai đại lượng được bảo toàn. Tổng năng lượng, gồm động năng cộng thế năng, không đổi vì các cánh tay không bao giờ đổi chiều dài, nên xét tổng thể, lực trong chúng không thêm cũng không bớt năng lượng. Mô-men động lượng quanh trục thẳng đứng đi qua điểm treo cũng không đổi: trọng lực hướng thẳng xuống và điểm treo không di chuyển, nên không gì có thể vặn con lắc quanh trục thẳng đứng. Bảng số liệu hiển thị cả hai.

Nón đều

Cũng có một chuyển động có trật tự. Nghiêng cả hai cánh tay trong cùng một mặt phẳng thẳng đứng ở đúng những góc thích hợp và quay cả con lắc quanh phương thẳng đứng với đúng tốc độ thích hợp, khi đó trọng lực, lực trong cánh tay và chuyển động quay cân bằng hoàn toàn. Các quả nặng khi ấy vẽ mãi hai đường tròn nằm ngang. Mục yêu thích Nón đều bắt đầu từ một trạng thái cân bằng như thế: với cánh tay trên ở 35°, cánh tay dưới nằm ở khoảng 44° và con lắc quay khoảng 2,7 radian mỗi giây.

Hỗn loạn và con lắc sinh đôi

Với phần lớn cách thả, chuyển động là hỗn loạn. Hai con lắc xuất phát cách nhau một milimét đi cùng nhau trong vài giây, rồi cứ sau vài giây khoảng cách lại tăng lên nhiều lần, cho đến khi hai con lắc chẳng còn gì giống nhau. Trong mục yêu thích Hiệu ứng cánh bướm, con lắc sinh đôi xuất phát lệch 1 mm và đã cách xa hơn một mét chỉ trong mười giây. Tốc độ tăng đó được đo bằng số mũ Lyapunov.

Thử trong PictorX

Mở con lắc kép 3D là con lắc đã đung đưa sẵn. Kéo để xoay khung nhìn, cuộn để thu phóng, và chọn Xiên, Từ trên xuống hoặc Chính diện trong menu Xem. Góc của Con lắc 1 và Con lắc 2 đặt mỗi cánh tay được nâng lên bao xa, Độ xoắn xoay cánh tay dưới sang ngang, và Tốc độ quay tạo một cú đẩy quanh phương thẳng đứng. Bật Sinh đôi để xem hỗn loạn hoạt động, rồi lưu PNG.

Hỏi thường xuyên

Con lắc kép 3D có hỗn loạn hơn con lắc phẳng không?

Nó có nhiều không gian để chuyển động hơn: bốn góc thay vì hai. Cả hai đều hỗn loạn khi đung đưa rộng. Dao động nhỏ của cả hai vẫn đều đặn và trông như sự pha trộn của vài nhịp ổn định.

Vì sao số đo Năng lượng giữ ở 100%?

Khi không có Giảm chấn, không có năng lượng nào rời khỏi hệ, và các bước đủ nhỏ, đủ chính xác để độ trôi giữ dưới một phần nghìn phần trăm trong nhiều phút.

Giảm chấn làm gì?

Nó thêm lực cản không khí tăng theo tốc độ. Các dao động nhỏ dần, số đo Năng lượng giảm, và cuối cùng con lắc treo đứng yên.

PictorX có tải mô phỏng lên không?

Không. Nó chạy trên canvas trong trình duyệt. Lưu sẽ tải xuống một PNG, và Chỉnh sửa mở ảnh đó trong trình chỉnh sửa PictorX.