3D 이중 진자에 대하여 | 구면 진자와 혼돈

평면에서 공간으로

고전적인 이중 진자는 평평한 한 평면 안에서 흔들리고, 두 각도로 나타낼 수 있습니다. 두 팔이 모두 어느 방향으로든 흔들리게 하면 추마다 각도가 두 개씩 필요해서 모두 네 개가 됩니다. 그래도 각 추는 일정한 거리를 지킵니다. 위 추는 고정점에서, 아래 추는 위 추에서 일정한 거리입니다. 옆으로 비틀지도, 스핀을 주지도 않고 놓은 진자는 영원히 자기 평면 안에 머뭅니다. 진자를 평면 밖으로 미는 것이 아무것도 없기 때문입니다.

작용하는 힘

각 추에는 중력과 팔이 당기는 힘이 작용합니다. 팔은 자기 길이 방향으로만 당기거나 밀 수 있고, 그 힘의 크기는 길이를 일정하게 유지하는 데 필요한 만큼입니다. 이 힘들은 미리 알 수 없고, 순간순간 바뀝니다. 앱은 매 단계마다 팔 길이가 변하지 않는다는 조건에서 두 팔의 힘을 구한 다음, 고전적인 4차 룽게-쿠타 방법으로 추를 움직입니다. 시뮬레이션 시간 1초에 600단계입니다.

변하지 않는 것

두 양이 보존됩니다. 운동 에너지와 위치 에너지를 더한 총에너지는 그대로입니다. 팔의 길이가 결코 변하지 않으므로, 팔의 힘이 전체로 보아 에너지를 더하지도 빼지도 않기 때문입니다. 고정점을 지나는 수직축에 대한 각운동량도 그대로입니다. 중력은 똑바로 아래를 향하고 고정점은 움직이지 않으므로, 진자를 수직축 둘레로 비틀 수 있는 것이 아무것도 없기 때문입니다. 표시창에 둘 다 나옵니다.

일정한 원뿔

질서 있는 움직임도 있습니다. 두 팔을 같은 수직면 안에서 꼭 알맞은 각도로 기울이고, 진자 전체를 꼭 알맞은 빠르기로 수직축 둘레로 돌리면, 중력과 팔의 힘과 회전이 정확히 균형을 이룹니다. 그러면 두 추는 수평인 원 두 개를 영원히 그립니다. 일정한 원뿔 즐겨찾기는 이런 균형에서 출발합니다. 위팔이 35°일 때 아래팔은 약 44°에 놓이고, 진자는 초당 약 2.7라디안으로 돕니다.

혼돈과 쌍둥이

대부분의 출발 상태에서 움직임은 혼돈입니다. 1밀리미터 떨어져 출발한 두 진자는 몇 초 동안 함께 움직이다가, 2초쯤마다 그 차이가 몇 배씩 커져 결국 둘 사이에 공통점이 하나도 남지 않습니다. 나비 효과 즐겨찾기에서는 쌍둥이가 1 mm 떨어져 출발해 10초 안에 1미터 넘게 멀어집니다. 이 커지는 빠르기는 랴푸노프 지수로 잽니다.

PictorX에서 해 보기

3D 이중 진자를 열면 진자가 이미 흔들리고 있습니다. 드래그해 시점을 돌리고, 스크롤해 확대/축소하고, 보기에서 비스듬히·위에서·정면 중 하나를 고르세요. 진자 1과 진자 2의 각도는 각 팔을 얼마나 들어 올릴지 정하고, 비틀기는 아래팔을 옆으로 돌리며, 스핀은 수직축 둘레로 한 번 밀어 줍니다. 쌍둥이를 켜서 혼돈이 작용하는 모습을 본 다음, PNG를 저장하세요.