矩阵：从数字表格到 3D 图形
矩阵只是一个由数字组成的矩形表格，却是数学中最有用的思想之一。它可以表示方程组、网络、图像或空间中的旋转。本页介绍主要运算、背后的历史，以及你每天在哪里遇到矩阵。
什么是矩阵？
矩阵是由 m 行 n 列数字组成的网格，称为 m x n 矩阵。单独一行或一列称为向量。大小相同的矩阵逐项相加，乘以一个数（标量）就是把每一项都乘以它。当你把矩阵看作把一个向量变成另一个向量的机器时，它真正的威力才显现出来。
矩阵乘法如何运作
要求 A x B 第 i 行第 j 列的项，就沿着 A 的第 i 行和 B 的第 j 列，把对应的数两两相乘再相加。所以 A 的列数必须等于 B 的行数。这个规则初看奇怪，但它意味着 A x B 的效果正好等于先做 B 再做 A。顺序很重要：先旋转再拉伸与先拉伸再旋转并不相同。
行列式与逆矩阵
方阵的行列式是一个数，表示该矩阵在二维中把面积、在三维中把体积放大多少倍。行列式为 2 会使每块面积加倍，负值还会把图形镜像翻转，而 0 表示空间被压扁。被压扁的图形无法再展开，所以恰好是行列式为 0 的矩阵没有逆矩阵。对其他矩阵，逆矩阵能撤销原矩阵的作用：A x A^-1 得到单位矩阵，对角线上是 1，其余为 0。
凯莱、西尔维斯特与矩阵的历史
早在有名字之前，数字表格就被用来解方程：约两千年前的中国《九章算术》已经在系数表中消元。17 世纪末，关孝和与莱布尼茨研究了行列式。1850 年，詹姆斯·约瑟夫·西尔维斯特引入了 matrix 一词（拉丁语意为子宫），因为他把它看作行列式诞生的源头。他的朋友阿瑟·凯莱于 1858 年发表《矩阵理论研究报告》，把矩阵当作具有加法、乘法和逆的独立对象，并提出了今天所称的凯莱-哈密顿定理。
计算机图形中的矩阵
每当游戏或 3D 查看器绘制一帧画面时，就有数以百万计的点与矩阵相乘。一个 4x4 矩阵可以一步完成点的旋转、缩放和平移，把多个矩阵相乘就能把一整串运动合并成一个矩阵。摄像机和透视投影也是矩阵。显卡正是为并行完成这些乘法而设计的，这也是它们后来特别适合训练神经网络的原因。
常见问题
能用一个矩阵除以另一个矩阵吗？
不能直接相除。取而代之的是乘以逆矩阵：A x B^-1 或 B^-1 x A，两者通常结果不同。只有当 B 是方阵且行列式不为 0 时才可行。
矩阵的秩说明了什么？
秩是真正相互独立的行数，也就是不能由其他行组合得到的行的数量。秩为 3 的 3x3 矩阵是可逆的。秩为 2 表示一切被压到一个平面上，秩为 1 则压到一条直线上。
什么是单位矩阵？
它是对角线上为 1、其余全为 0 的方阵，记作 I。它的作用相当于数字 1：A x I = I x A = A。任何矩阵的 0 次幂都定义为 I。
相关工具
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