Om matricer | Multiplikation, determinant og invers

Hvad er en matrix?

En matrix er et gitter af tal med m rækker og n kolonner, kaldet en m x n-matrix. En enkelt række eller kolonne kaldes en vektor. Matricer af samme størrelse lægges sammen element for element, og at gange med et tal, en skalar, ganger blot hvert element. Den egentlige styrke viser sig, når man ser matricen som en maskine, der gør én vektor til en anden.

Sådan virker matrixmultiplikation

For at finde elementet i række i og kolonne j af A x B går du hen ad række i i A og ned ad kolonne j i B, ganger parrene og lægger dem sammen. Derfor skal A have lige så mange kolonner, som B har rækker. Reglen virker underlig, men betyder, at A x B gør præcis det samme som først at anvende B og så A. Rækkefølgen betyder noget: at dreje og så strække er ikke det samme som omvendt.

Determinant og invers

Determinanten af en kvadratisk matrix er ét tal, der fortæller, hvor meget matricen skalerer areal i 2D eller rumfang i 3D. En determinant på 2 fordobler hvert areal, en negativ spejler også figuren, og 0 betyder, at rummet trykkes fladt. En flad figur kan ikke foldes ud igen, så netop matricerne med determinant 0 har ingen invers. For alle andre ophæver den inverse matricen: A x A^-1 giver identitetsmatricen med ettaller i diagonalen og ellers nuller.

Cayley, Sylvester og matricernes historie

Taltabeller blev brugt til at løse ligninger længe før de fik et navn: de kinesiske Ni kapitler om den matematiske kunst, omkring 2000 år gamle, eliminerer allerede ubekendte fra en tabel med koefficienter. Seki Takakazu og Leibniz studerede determinanter i slutningen af 1600-tallet. I 1850 indførte James Joseph Sylvester ordet matrix, latin for livmoder, fordi han så den som kilden, determinanter fødes af. Hans ven Arthur Cayley udgav i 1858 A Memoir on the Theory of Matrices, hvor matricer blev selvstændige objekter med addition, multiplikation og inverse, og formulerede det, der i dag kaldes Cayley-Hamilton-sætningen.

Matricer i computergrafik

Hver gang et spil eller en 3D-fremviser tegner et billede, ganges millioner af punkter med matricer. En 4x4-matrix kan dreje, skalere og flytte et punkt i ét trin, og produktet af flere samler en hel kæde af bevægelser i én matrix. Kameraet og perspektivet er også matricer. Grafikkort er bygget til at udføre disse multiplikationer parallelt, og derfor viste de sig også så gode til at træne neurale netværk.

Ofte stillede spørgsmål

Kan man dividere en matrix med en anden?

Ikke direkte. I stedet ganger man med den inverse: A x B^-1 eller B^-1 x A, som som regel giver forskellige resultater. Det virker kun, når B er kvadratisk og har en determinant forskellig fra 0.

Hvad fortæller rangen af en matrix?

Rangen er antallet af reelt uafhængige rækker, altså rækker, der ikke kan dannes ud fra de andre. En 3x3-matrix med rang 3 er invertibel. Rang 2 betyder, at alt trykkes ned på en plan, og rang 1 på en linje.

Hvad er identitetsmatricen?

Det er den kvadratiske matrix med ettaller i diagonalen og nuller alle andre steder, skrevet I. Den spiller tallet 1's rolle: A x I = I x A = A. Enhver matrix i potensen 0 er defineret som I.