Sobre matrizes | Multiplicação, determinante e inversa

O que é uma matriz?

Uma matriz é uma grelha de números com m linhas e n colunas, chamada matriz m x n. Uma só linha ou coluna chama-se vetor. Matrizes do mesmo tamanho somam-se elemento a elemento, e multiplicar por um número, um escalar, multiplica cada elemento. A verdadeira força surge quando a vemos como uma máquina que transforma um vetor noutro.

Como funciona a multiplicação de matrizes

Para o elemento da linha i e coluna j de A x B, percorra a linha i de A e a coluna j de B, multiplique os pares e some-os. Por isso A precisa de tantas colunas quantas linhas tem B. A regra parece estranha, mas significa que A x B faz exatamente o mesmo que aplicar B e depois A. A ordem conta: rodar e depois esticar não é o mesmo que esticar e depois rodar.

Determinante e inversa

O determinante de uma matriz quadrada é um único número que indica quanto a matriz escala a área em 2D ou o volume em 3D. Um determinante de 2 duplica cada área, um negativo também espelha a figura, e 0 significa que o espaço é achatado. Uma figura achatada não pode voltar a ser desdobrada, por isso são exatamente as matrizes com determinante 0 que não têm inversa. Para as restantes, a inversa desfaz a matriz: A x A^-1 dá a matriz identidade, com uns na diagonal e zeros no resto.

Cayley, Sylvester e a história das matrizes

Tabelas de números serviam para resolver equações muito antes de terem nome: os chineses Nove Capítulos sobre a Arte Matemática, com cerca de 2000 anos, já eliminam incógnitas de uma tabela de coeficientes. Seki Takakazu e Leibniz estudaram determinantes no final do século XVII. Em 1850, James Joseph Sylvester introduziu a palavra matriz, do latim para útero, porque a via como a fonte de onde nascem os determinantes. O seu amigo Arthur Cayley publicou em 1858 A Memoir on the Theory of Matrices, tratando as matrizes como objetos próprios com soma, produto e inversa, e enunciando o que hoje se chama teorema de Cayley-Hamilton.

As matrizes na computação gráfica

Sempre que um jogo ou visualizador 3D desenha uma imagem, milhões de pontos são multiplicados por matrizes. Uma matriz 4x4 pode rodar, escalar e mover um ponto num só passo, e o produto de várias junta toda uma cadeia de movimentos numa única matriz. A câmara e a perspetiva também são matrizes. As placas gráficas foram feitas para realizar estes produtos em paralelo, e é por isso que se revelaram tão boas a treinar redes neuronais.

Perguntas frequentes

Pode-se dividir uma matriz por outra?

Não diretamente. Em vez disso multiplica-se pela inversa: A x B^-1 ou B^-1 x A, que normalmente dão resultados diferentes. Só funciona se B for quadrada e o seu determinante não for 0.

O que me diz o posto de uma matriz?

O posto é o número de linhas realmente independentes, ou seja, que não se obtêm a partir das outras. Uma matriz 3x3 de posto 3 é invertível. Posto 2 significa que tudo é achatado num plano, e posto 1 numa reta.

O que é a matriz identidade?

É a matriz quadrada com uns na diagonal e zeros no resto, escrita I. Faz o papel do número 1: A x I = I x A = A. Qualquer matriz elevada a 0 é definida como I.