Matrisler hakkında | Çarpım, determinant ve ters

Matris nedir?

Matris, m satır ve n sütundan oluşan bir sayı ızgarasıdır ve m x n matris diye yazılır. Tek bir satır veya sütuna vektör denir. Aynı boyuttaki matrisler eleman eleman toplanır; bir sayıyla, yani skalerle çarpmak her elemanı çarpar. Asıl güç, matrisi bir vektörü başka bir vektöre dönüştüren bir makine olarak gördüğünüzde ortaya çıkar.

Matris çarpımı nasıl işler

A x B'nin i. satır ve j. sütundaki elemanı için A'nın i. satırı boyunca ve B'nin j. sütunu boyunca ilerleyip çiftleri çarpar ve toplarsınız. Bu yüzden A'nın sütun sayısı B'nin satır sayısına eşit olmalıdır. Kural ilk başta tuhaf görünür ama A x B'nin önce B'yi sonra A'yı uygulamakla tam olarak aynı işi yaptığı anlamına gelir. Sıra önemlidir: önce döndürüp sonra germek, tersiyle aynı değildir.

Determinant ve ters

Kare bir matrisin determinantı, matrisin 2B'de alanı veya 3B'de hacmi ne kadar ölçeklediğini söyleyen tek bir sayıdır. Determinantı 2 olan matris her alanı ikiye katlar, negatif olan şekli ayrıca aynalar, 0 ise uzayın düzleştirildiği anlamına gelir. Düzleşmiş bir şekil yeniden açılamaz; bu yüzden tersi olmayan matrisler tam olarak determinantı 0 olanlardır. Diğerlerinde ters matris işlemi geri alır: A x A^-1 köşegeninde birler, diğer yerlerde sıfırlar olan birim matrisi verir.

Cayley, Sylvester ve matrislerin tarihi

Sayı tabloları, bir adları olmadan çok önce denklem çözmek için kullanılıyordu: yaklaşık 2000 yıllık Çin eseri Matematik Sanatı Üzerine Dokuz Bölüm, bilinmeyenleri bir katsayı tablosundan yok ediyordu. Determinantları 17. yüzyılın sonunda Seki Takakazu ve Leibniz incelediler. 1850'de James Joseph Sylvester, Latincede rahim anlamına gelen matris kelimesini getirdi; çünkü onu determinantların doğduğu kaynak olarak görüyordu. Arkadaşı Arthur Cayley 1858'de A Memoir on the Theory of Matrices'i yayımladı; matrisleri toplama, çarpma ve terslerle kendi başına nesneler olarak ele aldı ve bugün Cayley-Hamilton teoremi denen sonucu ifade etti.

Bilgisayar grafiğinde matrisler

Bir oyun veya 3B görüntüleyici her kare çizdiğinde milyonlarca nokta matrislerle çarpılır. 4x4 bir matris bir noktayı tek adımda döndürebilir, ölçekleyebilir ve taşıyabilir; birkaç matrisin çarpımı bütün bir hareket zincirini tek bir matriste toplar. Kamera ve perspektif de birer matristir. Ekran kartları bu çarpımları paralel yapmak için tasarlanmıştır ve sinir ağlarını eğitmede bu kadar iyi olmalarının nedeni de budur.

Sık sorulan sorular

Bir matris diğerine bölünebilir mi?

Doğrudan değil. Bunun yerine tersiyle çarpılır: A x B^-1 veya B^-1 x A; bunlar genellikle farklı sonuç verir. Bu yalnızca B kare ve determinantı 0'dan farklıysa işe yarar.

Bir matrisin rankı bana ne söyler?

Rank, gerçekten bağımsız satırların, yani diğerlerinden elde edilemeyen satırların sayısıdır. Rankı 3 olan 3x3 bir matris tersinirdir. Rank 2 her şeyin bir düzleme, rank 1 bir doğruya bastırıldığı anlamına gelir.

Birim matris nedir?

Köşegeninde birler, diğer her yerde sıfırlar olan kare matristir ve I ile gösterilir. 1 sayısının rolünü oynar: A x I = I x A = A. Her matrisin 0. kuvveti I olarak tanımlanır.