О матрицах | Умножение, определитель и обратная матрица

Что такое матрица?

Матрица это сетка чисел из m строк и n столбцов, матрица m x n. Одна строка или один столбец называется вектором. Матрицы одного размера складываются поэлементно, а умножение на число, скаляр, умножает каждый элемент. Настоящая сила проявляется, когда матрицу видят как машину, превращающую один вектор в другой.

Как устроено умножение матриц

Чтобы найти элемент в строке i и столбце j произведения A x B, пройдите по строке i матрицы A и по столбцу j матрицы B, перемножьте пары и сложите. Поэтому у A должно быть столько столбцов, сколько строк у B. Правило кажется странным, но означает, что A x B делает ровно то же, что применение сначала B, а затем A. Порядок важен: повернуть и растянуть не то же, что растянуть и повернуть.

Определитель и обратная матрица

Определитель квадратной матрицы это одно число, показывающее, во сколько раз матрица меняет площадь в 2D или объём в 3D. Определитель 2 удваивает любую площадь, отрицательный ещё и зеркально отражает фигуру, а 0 означает, что пространство сплющивается. Сплющенную фигуру уже не развернуть, поэтому именно матрицы с определителем 0 не имеют обратной. Для остальных обратная матрица отменяет действие: A x A^-1 даёт единичную матрицу с единицами на диагонали и нулями в остальных местах.

Кэли, Сильвестр и история матриц

Таблицы чисел использовали для решения уравнений задолго до того, как у них появилось имя: китайский трактат Математика в девяти книгах, созданный около 2000 лет назад, уже исключает неизвестные из таблицы коэффициентов. Определители изучали Сэки Такакадзу и Лейбниц в конце XVII века. В 1850 году Джеймс Джозеф Сильвестр ввёл слово матрица (по-латыни матка), видя в ней источник, из которого рождаются определители. Его друг Артур Кэли в 1858 году опубликовал A Memoir on the Theory of Matrices, где матрицы стали самостоятельными объектами со сложением, умножением и обращением, и сформулировал то, что теперь называют теоремой Гамильтона-Кэли.

Матрицы в компьютерной графике

Каждый раз, когда игра или 3D-просмотрщик рисует кадр, миллионы точек умножаются на матрицы. Матрица 4x4 за один шаг поворачивает, масштабирует и сдвигает точку, а произведение нескольких таких матриц объединяет целую цепочку движений в одну матрицу. Камера и перспектива тоже матрицы. Видеокарты созданы для параллельного выполнения этих умножений, поэтому они так хорошо подошли и для обучения нейросетей.

Часто задаваемые вопросы

Можно ли разделить одну матрицу на другую?

Не напрямую. Вместо этого умножают на обратную: A x B^-1 или B^-1 x A, что обычно даёт разные результаты. Это возможно, только если B квадратная и её определитель не равен 0.

Что говорит ранг матрицы?

Ранг это число действительно независимых строк, то есть таких, которые нельзя получить из остальных. Матрица 3x3 ранга 3 обратима. Ранг 2 означает, что всё сплющивается в плоскость, ранг 1 в прямую.

Что такое единичная матрица?

Это квадратная матрица с единицами на диагонали и нулями в остальных местах, обозначается I. Она играет роль числа 1: A x I = I x A = A. Любая матрица в степени 0 по определению равна I.