O macierzach | Mnożenie, wyznacznik i odwrotność

Czym jest macierz?

Macierz to siatka liczb o m wierszach i n kolumnach, czyli macierz m x n. Pojedynczy wiersz lub kolumna to wektor. Macierze tego samego rozmiaru dodaje się element po elemencie, a mnożenie przez liczbę, skalar, mnoży każdy element. Prawdziwa siła ujawnia się, gdy traktujemy macierz jak maszynę zamieniającą jeden wektor w inny.

Jak działa mnożenie macierzy

Aby znaleźć element w wierszu i i kolumnie j iloczynu A x B, idź wzdłuż wiersza i macierzy A i w dół kolumny j macierzy B, mnóż pary i sumuj. Dlatego A musi mieć tyle kolumn, ile B ma wierszy. Reguła wydaje się dziwna, ale oznacza, że A x B robi dokładnie to samo co zastosowanie najpierw B, a potem A. Kolejność ma znaczenie: obrót i potem rozciągnięcie to nie to samo co odwrotnie.

Wyznacznik i odwrotność

Wyznacznik macierzy kwadratowej to jedna liczba mówiąca, ile razy macierz skaluje pole w 2D lub objętość w 3D. Wyznacznik 2 podwaja każde pole, ujemny dodatkowo odbija figurę lustrzanie, a 0 oznacza, że przestrzeń zostaje spłaszczona. Spłaszczonej figury nie da się rozłożyć z powrotem, dlatego właśnie macierze o wyznaczniku 0 nie mają odwrotności. Dla pozostałych odwrotność cofa działanie macierzy: A x A^-1 daje macierz jednostkową z jedynkami na przekątnej i zerami gdzie indziej.

Cayley, Sylvester i historia macierzy

Tabel liczb używano do rozwiązywania równań na długo przed nadaniem im nazwy: chińskie Dziewięć rozdziałów o sztuce matematycznej, sprzed około 2000 lat, eliminują już niewiadome z tabeli współczynników. Wyznaczniki badali Seki Takakazu i Leibniz pod koniec XVII wieku. W 1850 roku James Joseph Sylvester wprowadził słowo macierz (matrix, po łacinie łono), bo widział w niej źródło, z którego rodzą się wyznaczniki. Jego przyjaciel Arthur Cayley opublikował w 1858 roku A Memoir on the Theory of Matrices, traktując macierze jako samodzielne obiekty z dodawaniem, mnożeniem i odwrotnością, oraz sformułował dzisiejsze twierdzenie Cayleya-Hamiltona.

Macierze w grafice komputerowej

Za każdym razem, gdy gra lub przeglądarka 3D rysuje klatkę, miliony punktów są mnożone przez macierze. Macierz 4x4 może w jednym kroku obrócić, przeskalować i przesunąć punkt, a iloczyn kilku takich macierzy łączy cały łańcuch ruchów w jedną macierz. Kamera i perspektywa to też macierze. Karty graficzne zbudowano do równoległego wykonywania tych mnożeń i właśnie dlatego tak dobrze sprawdzają się w trenowaniu sieci neuronowych.

Często zadawane pytania

Czy można podzielić macierz przez inną?

Nie bezpośrednio. Zamiast tego mnoży się przez odwrotność: A x B^-1 albo B^-1 x A, co zwykle daje różne wyniki. Działa to tylko wtedy, gdy B jest kwadratowa i ma wyznacznik różny od 0.

Co mówi rząd macierzy?

Rząd to liczba naprawdę niezależnych wierszy, czyli takich, których nie da się otrzymać z pozostałych. Macierz 3x3 rzędu 3 jest odwracalna. Rząd 2 oznacza spłaszczenie wszystkiego do płaszczyzny, a rząd 1 do prostej.

Czym jest macierz jednostkowa?

To macierz kwadratowa z jedynkami na przekątnej i zerami wszędzie indziej, oznaczana I. Pełni rolę liczby 1: A x I = I x A = A. Każda macierz do potęgi 0 jest z definicji równa I.