Informazioni sulle matrici | Prodotto, determinante e inversa

Che cos'è una matrice?

Una matrice è una griglia di numeri con m righe e n colonne, detta matrice m x n. Una sola riga o colonna si chiama vettore. Matrici della stessa dimensione si sommano elemento per elemento, e moltiplicare per un numero, uno scalare, moltiplica ogni elemento. La vera forza emerge quando la si vede come una macchina che trasforma un vettore in un altro.

Come funziona il prodotto di matrici

Per l'elemento in riga i e colonna j di A x B, percorri la riga i di A e la colonna j di B, moltiplica le coppie e sommale. Per questo A deve avere tante colonne quante righe ha B. La regola sembra strana, ma significa che A x B fa esattamente ciò che fa applicare B e poi A. L'ordine conta: ruotare e poi allungare non è come allungare e poi ruotare.

Determinante e inversa

Il determinante di una matrice quadrata è un solo numero che dice di quanto la matrice scala le aree in 2D o i volumi in 3D. Un determinante pari a 2 raddoppia ogni area, uno negativo ribalta anche la figura come uno specchio, e 0 significa che lo spazio viene schiacciato. Una figura schiacciata non si può più distendere, quindi proprio le matrici con determinante 0 non hanno inversa. Per tutte le altre l'inversa annulla la matrice: A x A^-1 dà la matrice identità, con 1 sulla diagonale e 0 altrove.

Cayley, Sylvester e la storia delle matrici

Tabelle di numeri servivano a risolvere equazioni molto prima di avere un nome: i cinesi Nove capitoli sull'arte matematica, di circa 2000 anni fa, eliminano già le incognite da una tabella di coefficienti. Seki Takakazu e Leibniz studiarono i determinanti alla fine del XVII secolo. Nel 1850 James Joseph Sylvester introdusse la parola matrice, dal latino per utero, perché la vedeva come la fonte da cui nascono i determinanti. Il suo amico Arthur Cayley pubblicò nel 1858 A Memoir on the Theory of Matrices, trattando le matrici come oggetti a sé con somma, prodotto e inversa, ed enunciando quello che oggi si chiama teorema di Cayley-Hamilton.

Le matrici nella computer grafica

Ogni volta che un gioco o un visualizzatore 3D disegna un fotogramma, milioni di punti vengono moltiplicati per matrici. Una matrice 4x4 può ruotare, scalare e spostare un punto in un solo passo, e il prodotto di più matrici riunisce un'intera catena di movimenti in una sola. Anche la telecamera e la prospettiva sono matrici. Le schede grafiche sono progettate per eseguire questi prodotti in parallelo, ed è anche per questo che si sono rivelate ottime per addestrare reti neurali.

Domande frequenti

Si può dividere una matrice per un'altra?

Non direttamente. Si moltiplica invece per l'inversa: A x B^-1 oppure B^-1 x A, che di solito danno risultati diversi. Funziona solo se B è quadrata e ha determinante diverso da 0.

Che cosa indica il rango di una matrice?

Il rango è il numero di righe davvero indipendenti, cioè che non si possono ottenere dalle altre. Una matrice 3x3 di rango 3 è invertibile. Rango 2 significa che tutto viene schiacciato su un piano, rango 1 su una retta.

Che cos'è la matrice identità?

È la matrice quadrata con 1 sulla diagonale e 0 altrove, indicata con I. Svolge il ruolo del numero 1: A x I = I x A = A. Ogni matrice elevata a 0 è definita come I.