मैट्रिक्स के बारे में | गुणन, सारणिक और व्युत्क्रम

मैट्रिक्स क्या है?

मैट्रिक्स m पंक्तियों और n स्तंभों वाली संख्याओं की ग्रिड है, जिसे m x n मैट्रिक्स लिखते हैं। अकेली पंक्ति या स्तंभ को सदिश कहते हैं। समान आकार के मैट्रिक्स हर प्रविष्टि के हिसाब से जुड़ते हैं, और किसी संख्या (अदिश) से गुणा करने पर हर प्रविष्टि गुणा होती है। असली शक्ति तब दिखती है जब मैट्रिक्स को एक सदिश को दूसरे में बदलने वाली मशीन माना जाए।

मैट्रिक्स गुणन कैसे होता है

A x B की पंक्ति i और स्तंभ j की प्रविष्टि के लिए A की पंक्ति i और B के स्तंभ j के साथ चलें, जोड़ियों को गुणा करें और जोड़ें। इसीलिए A के स्तंभ B की पंक्तियों जितने होने चाहिए। नियम पहले अजीब लगता है, पर इसका अर्थ है कि A x B ठीक वही करता है जो पहले B और फिर A लागू करना। क्रम मायने रखता है: घुमाकर खींचना, खींचकर घुमाने जैसा नहीं है।

सारणिक और व्युत्क्रम

वर्ग मैट्रिक्स का सारणिक एक संख्या है जो बताती है कि मैट्रिक्स 2D में क्षेत्रफल या 3D में आयतन को कितना बदलता है। सारणिक 2 हर क्षेत्रफल दोगुना करता है, ऋणात्मक सारणिक आकृति को दर्पण की तरह उलट भी देता है, और 0 का अर्थ है कि स्थान चपटा हो गया। चपटी आकृति फिर नहीं खुल सकती, इसलिए ठीक वही मैट्रिक्स जिनका सारणिक 0 है, व्युत्क्रम नहीं रखते। बाकी सभी में व्युत्क्रम मैट्रिक्स के असर को उलट देता है: A x A^-1 इकाई मैट्रिक्स देता है, जिसके विकर्ण पर 1 और बाकी जगह 0 होते हैं।

केली, सिल्वेस्टर और मैट्रिक्स का इतिहास

नाम मिलने से बहुत पहले संख्याओं की तालिकाएँ समीकरण हल करने में काम आती थीं: लगभग 2000 वर्ष पुरानी चीनी पुस्तक गणितीय कला के नौ अध्याय गुणांकों की तालिका से अज्ञात राशियाँ हटा देती है। 17वीं सदी के अंत में सेकी ताकाकाज़ु और लाइबनिज़ ने सारणिकों का अध्ययन किया। 1850 में जेम्स जोसेफ़ सिल्वेस्टर ने matrix शब्द दिया, जो लैटिन में गर्भ का अर्थ रखता है, क्योंकि वे इसे सारणिकों के जन्म का स्रोत मानते थे। उनके मित्र आर्थर केली ने 1858 में A Memoir on the Theory of Matrices प्रकाशित किया, जिसमें मैट्रिक्स को जोड़, गुणा और व्युत्क्रम वाली स्वतंत्र वस्तु माना गया और आज का केली-हैमिल्टन प्रमेय बताया गया।

कंप्यूटर ग्राफ़िक्स में मैट्रिक्स

जब भी कोई गेम या 3D व्यूअर एक फ़्रेम बनाता है, लाखों बिंदुओं को मैट्रिक्स से गुणा किया जाता है। एक 4x4 मैट्रिक्स किसी बिंदु को एक ही चरण में घुमा, छोटा-बड़ा और खिसका सकता है, और कई मैट्रिक्स का गुणनफल गतियों की पूरी शृंखला को एक मैट्रिक्स में समेट देता है। कैमरा और परिप्रेक्ष्य भी मैट्रिक्स हैं। ग्राफ़िक्स कार्ड ये गुणन समानांतर करने के लिए बने हैं, और इसी कारण वे न्यूरल नेटवर्क प्रशिक्षित करने में भी इतने अच्छे निकले।

अक्सर पूछे जाने वाले प्रश्न

क्या एक मैट्रिक्स को दूसरे से भाग दे सकते हैं?

सीधे नहीं। इसके बजाय व्युत्क्रम से गुणा करते हैं: A x B^-1 या B^-1 x A, जो आमतौर पर अलग परिणाम देते हैं। यह तभी संभव है जब B वर्ग हो और उसका सारणिक 0 न हो।

मैट्रिक्स की रैंक क्या बताती है?

रैंक वास्तव में स्वतंत्र पंक्तियों की संख्या है, यानी ऐसी पंक्तियाँ जो बाकी से नहीं बनाई जा सकतीं। रैंक 3 वाला 3x3 मैट्रिक्स व्युत्क्रमणीय है। रैंक 2 का अर्थ है सब कुछ एक तल पर चपटा, और रैंक 1 का अर्थ एक रेखा पर।

इकाई मैट्रिक्स क्या है?

यह वह वर्ग मैट्रिक्स है जिसके विकर्ण पर 1 और बाकी हर जगह 0 होते हैं, इसे I लिखते हैं। यह संख्या 1 की भूमिका निभाता है: A x I = I x A = A। किसी भी मैट्रिक्स की घात 0 को I माना जाता है।