Om matriser | Multiplikation, determinant och invers

Vad är en matris?

En matris är ett rutnät av tal med m rader och n kolumner, kallad en m x n-matris. En enda rad eller kolumn kallas vektor. Matriser av samma storlek adderas element för element, och att multiplicera med ett tal, en skalär, multiplicerar varje element. Den verkliga styrkan syns när man ser matrisen som en maskin som gör en vektor till en annan.

Så fungerar matrismultiplikation

För elementet i rad i och kolumn j av A x B går du längs rad i i A och nedför kolumn j i B, multiplicerar paren och summerar dem. Därför måste A ha lika många kolumner som B har rader. Regeln verkar konstig, men betyder att A x B gör exakt samma sak som att först tillämpa B och sedan A. Ordningen spelar roll: att rotera och sedan sträcka är inte samma sak som tvärtom.

Determinant och invers

Determinanten för en kvadratisk matris är ett enda tal som anger hur mycket matrisen skalar area i 2D eller volym i 3D. En determinant på 2 fördubblar varje area, en negativ speglar dessutom figuren, och 0 betyder att rummet plattas till. En tillplattad figur går inte att veckla ut igen, så just matriserna med determinant 0 saknar invers. För alla andra tar inversen ut matrisen: A x A^-1 ger enhetsmatrisen med ettor på diagonalen och nollor i övrigt.

Cayley, Sylvester och matrisernas historia

Taltabeller användes för att lösa ekvationer långt innan de fick ett namn: de kinesiska Nio kapitel om den matematiska konsten, omkring 2000 år gamla, eliminerar redan obekanta ur en tabell med koefficienter. Seki Takakazu och Leibniz studerade determinanter i slutet av 1600-talet. År 1850 införde James Joseph Sylvester ordet matris, latin för livmoder, eftersom han såg den som källan ur vilken determinanter föds. Hans vän Arthur Cayley publicerade 1858 A Memoir on the Theory of Matrices, där matriser blev egna objekt med addition, multiplikation och inverser, och formulerade det som i dag kallas Cayley-Hamiltons sats.

Matriser i datorgrafik

Varje gång ett spel eller en 3D-visare ritar en bild multipliceras miljontals punkter med matriser. En 4x4-matris kan rotera, skala och flytta en punkt i ett steg, och produkten av flera samlar en hel kedja av rörelser i en enda matris. Kameran och perspektivet är också matriser. Grafikkort är byggda för att göra dessa multiplikationer parallellt, och därför visade de sig också vara så bra på att träna neurala nätverk.

Ofta ställda frågor

Kan man dividera en matris med en annan?

Inte direkt. I stället multiplicerar man med inversen: A x B^-1 eller B^-1 x A, som oftast ger olika resultat. Det fungerar bara när B är kvadratisk och har en determinant skild från 0.

Vad säger rangen hos en matris?

Rangen är antalet verkligt oberoende rader, alltså rader som inte kan bildas av de andra. En 3x3-matris med rang 3 är inverterbar. Rang 2 betyder att allt plattas till på ett plan, och rang 1 på en linje.

Vad är enhetsmatrisen?

Det är den kvadratiska matrisen med ettor på diagonalen och nollor överallt annars, skriven I. Den spelar talet 1:s roll: A x I = I x A = A. Varje matris upphöjd till 0 definieras som I.