행렬: 숫자 표에서 3D 그래픽까지
행렬은 숫자를 직사각형으로 늘어놓은 표일 뿐이지만 수학에서 가장 쓸모 있는 아이디어 중 하나입니다. 연립방정식, 네트워크, 이미지, 공간의 회전을 담을 수 있습니다. 이 페이지는 주요 연산과 그 역사, 그리고 일상에서 행렬을 만나는 곳을 설명합니다.
행렬이란?
행렬은 m개의 행과 n개의 열로 된 숫자 격자로, m x n 행렬이라고 씁니다. 한 행이나 한 열만 있으면 벡터라고 합니다. 크기가 같은 행렬은 성분끼리 더하고, 수(스칼라)를 곱하면 모든 성분에 곱해집니다. 행렬을 한 벡터를 다른 벡터로 바꾸는 기계로 볼 때 진짜 힘이 드러납니다.
행렬 곱셈의 원리
A x B의 i행 j열 성분은 A의 i행과 B의 j열을 따라가며 짝끼리 곱해 더한 값입니다. 그래서 A의 열 수가 B의 행 수와 같아야 합니다. 처음엔 이상해 보여도, 이 규칙 덕분에 A x B는 B를 먼저 적용하고 A를 적용한 것과 똑같이 작동합니다. 순서가 중요해서, 회전 후 늘이기와 늘인 후 회전은 다릅니다.
행렬식과 역행렬
정사각 행렬의 행렬식은 그 행렬이 2D에서 넓이를, 3D에서 부피를 몇 배로 바꾸는지 알려 주는 하나의 수입니다. 행렬식이 2이면 모든 넓이가 두 배가 되고, 음수이면 도형이 거울처럼 뒤집히며, 0이면 공간이 납작하게 눌립니다. 눌린 도형은 다시 펼 수 없으므로, 역행렬이 없는 행렬은 정확히 행렬식이 0인 행렬입니다. 나머지 행렬에서는 역행렬이 원래 행렬을 되돌립니다. A x A^-1은 대각선이 1이고 나머지가 0인 단위 행렬입니다.
케일리, 실베스터와 행렬의 역사
숫자 표는 이름이 붙기 훨씬 전부터 방정식을 푸는 데 쓰였습니다. 약 2000년 전 중국의 『구장산술』은 이미 계수 표에서 미지수를 소거합니다. 17세기 말에는 세키 다카카즈와 라이프니츠가 행렬식을 연구했습니다. 1850년 제임스 조지프 실베스터는 행렬식이 태어나는 원천으로 보아, 라틴어로 자궁을 뜻하는 matrix라는 단어를 도입했습니다. 그의 친구 아서 케일리는 1858년 『행렬 이론에 관한 논문』을 발표해 행렬을 덧셈, 곱셈, 역을 가진 독립된 대상으로 다루고, 오늘날 케일리-해밀턴 정리라 불리는 결과를 제시했습니다.
컴퓨터 그래픽의 행렬
게임이나 3D 뷰어가 한 프레임을 그릴 때마다 수백만 개의 점이 행렬과 곱해집니다. 4x4 행렬 하나로 점을 한 번에 회전, 확대·축소, 이동할 수 있고, 여러 행렬을 곱하면 일련의 움직임 전체가 하나의 행렬로 합쳐집니다. 카메라와 원근 투영도 행렬입니다. 그래픽 카드는 이런 곱셈을 병렬로 하도록 만들어졌고, 그래서 신경망 학습에도 아주 뛰어난 것으로 드러났습니다.
자주 묻는 질문
행렬을 다른 행렬로 나눌 수 있나요?
직접은 안 됩니다. 대신 역행렬을 곱합니다. A x B^-1과 B^-1 x A는 대개 결과가 다릅니다. B가 정사각 행렬이고 행렬식이 0이 아닐 때만 가능합니다.
행렬의 랭크는 무엇을 알려 주나요?
랭크는 진짜로 독립인 행, 즉 다른 행들로 만들 수 없는 행의 개수입니다. 랭크가 3인 3x3 행렬은 가역입니다. 랭크 2는 모든 것이 평면으로, 랭크 1은 직선으로 눌린다는 뜻입니다.
단위 행렬이란?
대각선이 1이고 나머지가 모두 0인 정사각 행렬로, I로 씁니다. 숫자 1의 역할을 하여 A x I = I x A = A입니다. 모든 행렬의 0제곱은 I로 정의합니다.
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