Over matrices | Vermenigvuldigen, determinant en inverse

Wat is een matrix?

Een matrix is een raster van getallen met m rijen en n kolommen, een m x n-matrix. Eén rij of kolom heet een vector. Even grote matrices tel je element voor element op, en vermenigvuldigen met een getal, een scalair, vermenigvuldigt gewoon elk element. De echte kracht blijkt pas als je een matrix ziet als een machine die de ene vector in een andere omzet.

Hoe matrixvermenigvuldiging werkt

Voor het element in rij i en kolom j van A x B loop je rij i van A en kolom j van B af, vermenigvuldig je de paren en tel je ze op. Daarom moet A evenveel kolommen hebben als B rijen. De regel lijkt eerst vreemd, maar betekent dat A x B precies hetzelfde doet als eerst B en dan A toepassen. De volgorde telt: eerst draaien en dan uitrekken is niet hetzelfde als andersom.

Determinant en inverse

De determinant van een vierkante matrix is één getal dat zegt hoeveel de matrix oppervlakte in 2D of volume in 3D vergroot. Een determinant van 2 verdubbelt elke oppervlakte, een negatieve spiegelt de figuur ook, en 0 betekent dat de ruimte platgedrukt wordt. Een platgedrukte figuur kun je niet meer openvouwen, dus juist de matrices met determinant 0 hebben geen inverse. Bij alle andere maakt de inverse de matrix ongedaan: A x A^-1 geeft de eenheidsmatrix, met enen op de diagonaal en verder nullen.

Cayley, Sylvester en de geschiedenis van matrices

Tabellen met getallen werden al gebruikt om vergelijkingen op te lossen lang voordat ze een naam hadden: de Chinese Negen hoofdstukken over de wiskundige kunst, zo'n 2000 jaar oud, elimineren al onbekenden uit een tabel met coëfficiënten. Seki Takakazu en Leibniz bestudeerden determinanten aan het eind van de 17e eeuw. In 1850 voerde James Joseph Sylvester het woord matrix in, Latijn voor baarmoeder, omdat hij er de bron in zag waaruit determinanten geboren worden. Zijn vriend Arthur Cayley publiceerde in 1858 A Memoir on the Theory of Matrices, waarin matrices zelfstandige objecten werden met optellen, vermenigvuldigen en inverses, en formuleerde wat nu de stelling van Cayley-Hamilton heet.

Matrices in computergraphics

Elke keer dat een game of 3D-viewer een beeld tekent, worden miljoenen punten met matrices vermenigvuldigd. Een 4x4-matrix kan een punt in één stap draaien, schalen en verplaatsen, en het product van meerdere matrices vat een hele reeks bewegingen samen in één matrix. Ook de camera en het perspectief zijn matrices. Videokaarten zijn gebouwd om deze vermenigvuldigingen parallel uit te voeren, en daarom blijken ze ook zo goed in het trainen van neurale netwerken.

Veelgestelde vragen

Kun je een matrix door een andere delen?

Niet rechtstreeks. In plaats daarvan vermenigvuldig je met de inverse: A x B^-1 of B^-1 x A, die meestal verschillende uitkomsten geven. Dat kan alleen als B vierkant is en een determinant ongelijk aan 0 heeft.

Wat zegt de rang van een matrix?

De rang is het aantal echt onafhankelijke rijen: rijen die je niet uit de andere kunt maken. Een 3x3-matrix met rang 3 is inverteerbaar. Rang 2 betekent dat alles op een vlak wordt platgedrukt, rang 1 op een lijn.

Wat is de eenheidsmatrix?

Het is de vierkante matrix met enen op de diagonaal en verder nullen, geschreven als I. Hij speelt de rol van het getal 1: A x I = I x A = A. Elke matrix tot de macht 0 is per definitie I.