Despre matrice | Înmulțire, determinant și inversă

Ce este o matrice?

O matrice este o grilă de numere cu m rânduri și n coloane, numită matrice m x n. Un singur rând sau o singură coloană se numește vector. Matricele de aceeași dimensiune se adună element cu element, iar înmulțirea cu un număr, un scalar, înmulțește fiecare element. Adevărata putere apare când privești matricea ca pe o mașină ce transformă un vector în altul.

Cum funcționează înmulțirea matricelor

Pentru elementul din rândul i și coloana j din A x B, parcurge rândul i din A și coloana j din B, înmulțește perechile și adună-le. De aceea A trebuie să aibă tot atâtea coloane câte rânduri are B. Regula pare ciudată, dar înseamnă că A x B face exact ce face aplicarea lui B și apoi a lui A. Ordinea contează: a roti și apoi a întinde nu e același lucru cu invers.

Determinant și inversă

Determinantul unei matrice pătratice este un singur număr care arată cât de mult scalează matricea aria în 2D sau volumul în 3D. Un determinant 2 dublează fiecare arie, unul negativ oglindește și figura, iar 0 înseamnă că spațiul este turtit. O figură turtită nu mai poate fi desfăcută, deci exact matricele cu determinant 0 nu au inversă. Pentru toate celelalte, inversa anulează matricea: A x A^-1 dă matricea unitate, cu 1 pe diagonală și 0 în rest.

Cayley, Sylvester și istoria matricelor

Tabelele de numere erau folosite pentru rezolvarea ecuațiilor cu mult înainte să aibă un nume: chinezeștile Nouă capitole despre arta matematică, vechi de circa 2000 de ani, elimină deja necunoscute dintr-un tabel de coeficienți. Seki Takakazu și Leibniz au studiat determinanții la sfârșitul secolului al XVII-lea. În 1850, James Joseph Sylvester a introdus cuvântul matrice, din latinescul pentru pântec, pentru că o vedea ca sursa din care se nasc determinanții. Prietenul său Arthur Cayley a publicat în 1858 A Memoir on the Theory of Matrices, tratând matricele ca obiecte de sine stătătoare cu adunare, înmulțire și inversă, și a enunțat ceea ce azi se numește teorema Cayley-Hamilton.

Matricele în grafica pe calculator

De fiecare dată când un joc sau un vizualizator 3D desenează un cadru, milioane de puncte sunt înmulțite cu matrice. O matrice 4x4 poate roti, scala și muta un punct într-un singur pas, iar produsul mai multor matrice adună un lanț întreg de mișcări într-una singură. Camera și perspectiva sunt și ele matrice. Plăcile grafice sunt construite să facă aceste înmulțiri în paralel, motiv pentru care s-au dovedit atât de bune și la antrenarea rețelelor neuronale.

Întrebări frecvente

Se poate împărți o matrice la alta?

Nu direct. În schimb se înmulțește cu inversa: A x B^-1 sau B^-1 x A, care dau de obicei rezultate diferite. Funcționează doar dacă B este pătratică și are determinantul diferit de 0.

Ce îmi spune rangul unei matrice?

Rangul este numărul de rânduri cu adevărat independente, adică rânduri care nu pot fi obținute din celelalte. O matrice 3x3 de rang 3 este inversabilă. Rangul 2 înseamnă că totul este turtit pe un plan, iar rangul 1 pe o dreaptă.

Ce este matricea unitate?

Este matricea pătratică cu 1 pe diagonală și 0 în rest, notată I. Joacă rolul numărului 1: A x I = I x A = A. Orice matrice la puterea 0 este definită ca I.