Sobre matrices | Multiplicación, determinante e inversa

¿Qué es una matriz?

Una matriz es una cuadrícula de números con m filas y n columnas, llamada matriz m x n. Una sola fila o columna se llama vector. Las matrices del mismo tamaño se suman elemento a elemento, y multiplicar por un número, un escalar, multiplica cada elemento. Su verdadera potencia aparece al verla como una máquina que convierte un vector en otro.

Cómo funciona la multiplicación de matrices

Para el elemento de la fila i y la columna j de A x B, recorre la fila i de A y la columna j de B, multiplica los pares y súmalos. Por eso A necesita tantas columnas como filas tiene B. La regla parece rara, pero significa que A x B hace exactamente lo mismo que aplicar B y luego A. El orden importa: girar y luego estirar no es lo mismo que estirar y luego girar.

Determinante e inversa

El determinante de una matriz cuadrada es un solo número que indica cuánto escala la matriz el área en 2D o el volumen en 3D. Un determinante de 2 duplica cada área, uno negativo además refleja la figura como un espejo, y 0 significa que el espacio queda aplastado. Una figura aplastada no se puede desplegar, así que justo las matrices con determinante 0 no tienen inversa. Para las demás, la inversa deshace la matriz: A x A^-1 da la matriz identidad, con unos en la diagonal y ceros en el resto.

Cayley, Sylvester y la historia de las matrices

Las tablas de números se usaban para resolver ecuaciones mucho antes de tener nombre: los chinos Nueve capítulos sobre el arte matemático, de hace unos 2000 años, ya eliminan incógnitas de una tabla de coeficientes. Seki Takakazu y Leibniz estudiaron los determinantes a finales del siglo XVII. En 1850 James Joseph Sylvester introdujo la palabra matriz, del latín para útero, porque la veía como la fuente de la que nacen los determinantes. Su amigo Arthur Cayley publicó en 1858 A Memoir on the Theory of Matrices, tratando las matrices como objetos propios con suma, producto e inversa, y enunciando lo que hoy se llama teorema de Cayley-Hamilton.

Las matrices en los gráficos por ordenador

Cada vez que un juego o un visor 3D dibuja un fotograma, millones de puntos se multiplican por matrices. Una matriz 4x4 puede girar, escalar y mover un punto en un solo paso, y el producto de varias reúne toda una cadena de movimientos en una sola matriz. La cámara y la perspectiva también son matrices. Las tarjetas gráficas están hechas para hacer estos productos en paralelo, y por eso resultaron tan buenas para entrenar redes neuronales.

Preguntas frecuentes

¿Se puede dividir una matriz entre otra?

No directamente. En su lugar se multiplica por la inversa: A x B^-1 o B^-1 x A, que suelen dar resultados distintos. Solo funciona si B es cuadrada y su determinante no es 0.

¿Qué me dice el rango de una matriz?

El rango es el número de filas realmente independientes, es decir, que no se pueden obtener a partir de las demás. Una matriz 3x3 de rango 3 es invertible. Rango 2 significa que todo se aplasta sobre un plano, y rango 1 sobre una recta.

¿Qué es la matriz identidad?

Es la matriz cuadrada con unos en la diagonal y ceros en el resto, escrita I. Hace el papel del número 1: A x I = I x A = A. Cualquier matriz elevada a 0 se define como I.