行列：数の表から 3D グラフィックスまで
行列は数を長方形に並べた表にすぎませんが、数学で最も役立つ考え方の一つです。連立方程式、ネットワーク、画像、空間の回転を表せます。このページでは主な演算、その歴史、日常で行列に出会う場面を説明します。
行列とは？
行列は m 行 n 列に数を並べた格子で、m x n 行列と呼ばれます。1 行や 1 列だけのものはベクトルです。同じサイズの行列は成分ごとに足し、数（スカラー）を掛けるとすべての成分に掛かります。行列の本当の力は、あるベクトルを別のベクトルに変える機械と見なしたときに現れます。
行列の積の仕組み
A x B の i 行 j 列の成分は、A の i 行と B の j 列をたどって対応する数を掛け、足し合わせて求めます。だから A の列数は B の行数と等しくなければなりません。最初は奇妙に見えますが、A x B は B を施してから A を施すのとまったく同じ働きをします。順序は重要で、回転してから引き伸ばすのと、その逆は同じではありません。
行列式と逆行列
正方行列の行列式は、その行列が 2 次元の面積や 3 次元の体積を何倍にするかを表す 1 つの数です。行列式が 2 なら面積は 2 倍に、負なら図形は鏡に映したように反転し、0 なら空間は押しつぶされます。つぶれた図形は元に戻せないので、逆行列を持たないのはちょうど行列式が 0 の行列です。それ以外では逆行列が元の行列を打ち消し、A x A^-1 は対角に 1、他が 0 の単位行列になります。
ケイリー、シルベスターと行列の歴史
数の表は名前がつくずっと前から方程式を解くのに使われていました。約 2000 年前の中国の『九章算術』は、すでに係数の表から未知数を消去しています。17 世紀末には関孝和とライプニッツが行列式を研究しました。1850 年、ジェームズ・ジョセフ・シルベスターは、行列式が生まれる源と考えて、ラテン語で子宮を意味する matrix という言葉を導入しました。友人のアーサー・ケイリーは 1858 年に『行列の理論に関する論文』を発表し、行列を加法・乗法・逆を持つ独立した対象として扱い、今日ケイリー・ハミルトンの定理と呼ばれるものを述べました。
コンピューターグラフィックスの行列
ゲームや 3D ビューアーが 1 フレームを描くたびに、何百万もの点が行列と掛け合わされます。4x4 行列は点の回転・拡大縮小・移動を 1 回で行え、いくつもの行列を掛け合わせれば一連の動きを 1 つの行列にまとめられます。カメラや遠近法も行列です。グラフィックスカードはこうした積を並列に計算するよう作られており、それがニューラルネットワークの学習にも非常に向いていた理由です。
よくある質問
行列を別の行列で割れますか？
直接にはできません。代わりに逆行列を掛けます。A x B^-1 と B^-1 x A は普通異なる結果になります。B が正方行列で行列式が 0 でない場合にのみ可能です。
行列の階数から何がわかりますか？
階数は本当に独立な行、つまり他の行から作れない行の数です。階数 3 の 3x3 行列は正則です。階数 2 ならすべてが平面に、階数 1 なら直線に押しつぶされます。
単位行列とは？
対角成分が 1 で、それ以外がすべて 0 の正方行列で、I と書きます。数の 1 の役割を果たし、A x I = I x A = A です。どんな行列も 0 乗は I と定義されます。
関連ツール
行列計算機
無料のオンライン行列計算機：6x6 までの行列の加算、減算、乗算、転置、逆行列を、行列式・階数・累乗・厳密な分数で計算します。
電卓
標準モードと関数電卓モードを備えた無料のオンライン電卓。三角関数、対数、累乗、累乗根、階乗、メモリー、履歴に対応し、正しい演算順序で計算します。
関数グラフ描画
無料のオンライン関数グラフ描画ツール。x²、sin x、ln x、1/x や自分の式をインタラクティブな座標平面に描けます。移動、拡大縮小、x と y の読み取り、PNG 保存に対応。
統計計算機
無料のオンライン統計計算機。数値を貼り付けるだけで平均値、中央値、最頻値、分散、標準偏差、四分位数、ヒストグラムがすぐにわかります。
試してみますか？
ブラウザで PictorX を開きます。インストール不要、始めるのにクレジットカードも不要です。
行列計算機を開く