عن المصفوفات | الضرب والمحدد والمعكوس

ما المصفوفة؟

المصفوفة شبكة من الأعداد فيها m صفًا وn عمودًا، وتُكتب مصفوفة m x n. ويُسمى الصف الواحد أو العمود الواحد متجهًا. تُجمع المصفوفات المتساوية الحجم عنصرًا بعنصر، والضرب في عدد، أي في قياسي، يضرب كل عنصر. وتظهر قوتها الحقيقية عندما نراها آلة تحول متجهًا إلى متجه آخر.

كيف يعمل ضرب المصفوفات

لإيجاد العنصر في الصف i والعمود j من A x B، امشِ على الصف i من A والعمود j من B، واضرب الأزواج واجمعها. لذلك يجب أن يكون عدد أعمدة A مساويًا لعدد صفوف B. تبدو القاعدة غريبة أولًا، لكنها تعني أن A x B يفعل تمامًا ما يفعله تطبيق B ثم A. والترتيب مهم: التدوير ثم المد ليس كالمد ثم التدوير.

المحدد والمعكوس

محدد المصفوفة المربعة عدد واحد يبين بكم تضاعف المصفوفة المساحة في البعدين أو الحجم في الأبعاد الثلاثة. المحدد 2 يضاعف كل مساحة، والمحدد السالب يعكس الشكل أيضًا كالمرآة، والصفر يعني أن الفضاء انضغط وصار مسطحًا. الشكل المسطح لا يمكن فرده من جديد، لذا فالمصفوفات التي محددها 0 هي بالضبط التي ليس لها معكوس. أما البقية فيلغي المعكوس أثرها: A x A^-1 يعطي مصفوفة الوحدة، وفيها آحاد على القطر وأصفار في سائر المواضع.

كايلي وسيلفستر وتاريخ المصفوفات

استُخدمت جداول الأعداد لحل المعادلات قبل أن يكون لها اسم بزمن طويل: فكتاب الفصول التسعة في فن الرياضيات الصيني، الذي يعود إلى نحو 2000 عام، يحذف المجاهيل من جدول للمعاملات. ودرس سيكي تاكاكازو ولايبنتس المحددات في أواخر القرن السابع عشر. وفي عام 1850 أدخل جيمس جوزيف سيلفستر كلمة matrix، وتعني الرحم باللاتينية، لأنه رآها المنبع الذي تولد منه المحددات. ونشر صديقه آرثر كايلي عام 1858 بحثه A Memoir on the Theory of Matrices، فعامل المصفوفات كأشياء قائمة بذاتها لها جمع وضرب ومعكوس، وصاغ ما يسمى اليوم مبرهنة كايلي-هاميلتون.

المصفوفات في رسومات الحاسوب

في كل مرة ترسم فيها لعبة أو عارض ثلاثي الأبعاد إطارًا، تُضرب ملايين النقاط في مصفوفات. تستطيع مصفوفة 4x4 أن تدير نقطة وتغير حجمها وتنقلها في خطوة واحدة، وضرب عدة مصفوفات يجمع سلسلة كاملة من الحركات في مصفوفة واحدة. والكاميرا والمنظور مصفوفات أيضًا. صُممت بطاقات الرسوميات لإجراء هذه الضربات على التوازي، ولهذا تبين أنها ممتازة أيضًا في تدريب الشبكات العصبية.

الأسئلة المتداولة

هل يمكن قسمة مصفوفة على أخرى؟

ليس مباشرة. بدلًا من ذلك نضرب في المعكوس: A x B^-1 أو B^-1 x A، وهما يعطيان عادة نتيجتين مختلفتين. ولا ينجح ذلك إلا إذا كانت B مربعة ومحددها لا يساوي 0.

ماذا تخبرني رتبة المصفوفة؟

الرتبة هي عدد الصفوف المستقلة حقًا، أي التي لا يمكن تكوينها من الصفوف الأخرى. المصفوفة 3x3 ذات الرتبة 3 قابلة للعكس. والرتبة 2 تعني أن كل شيء ينضغط على مستوى، والرتبة 1 على خط.

ما مصفوفة الوحدة؟

هي المصفوفة المربعة التي على قطرها آحاد وفي سائر المواضع أصفار، ويُرمز لها بالحرف I. تؤدي دور العدد 1: A x I = I x A = A. وأي مصفوفة مرفوعة للقوة 0 تساوي I بالتعريف.