À propos des matrices | Produit, déterminant et inverse

Qu'est-ce qu'une matrice ?

Une matrice est une grille de nombres de m lignes et n colonnes, notée matrice m x n. Une seule ligne ou colonne s'appelle un vecteur. Deux matrices de même taille s'additionnent case par case, et multiplier par un nombre, un scalaire, multiplie simplement chaque valeur. Sa vraie force apparaît quand on la voit comme une machine qui transforme un vecteur en un autre.

Comment fonctionne le produit matriciel

Pour la valeur en ligne i et colonne j de A x B, parcourez la ligne i de A et la colonne j de B, multipliez les paires et additionnez-les. C'est pourquoi A doit avoir autant de colonnes que B a de lignes. La règle surprend, mais elle signifie que A x B fait exactement la même chose qu'appliquer B puis A. L'ordre compte : tourner puis étirer n'est pas étirer puis tourner.

Déterminant et inverse

Le déterminant d'une matrice carrée est un seul nombre qui indique de combien la matrice agrandit les aires en 2D ou les volumes en 3D. Un déterminant de 2 double chaque aire, un déterminant négatif retourne en plus la figure comme un miroir, et 0 signifie que l'espace est aplati. Une figure aplatie ne peut pas être dépliée, donc ce sont exactement les matrices de déterminant 0 qui n'ont pas d'inverse. Pour les autres, l'inverse annule la matrice : A x A^-1 donne la matrice identité, avec des 1 sur la diagonale et des 0 ailleurs.

Cayley, Sylvester et l'histoire des matrices

On utilisait des tableaux de nombres pour résoudre des équations bien avant qu'ils aient un nom : les Neuf Chapitres sur l'art mathématique, ouvrage chinois vieux d'environ 2000 ans, éliminent déjà des inconnues dans un tableau de coefficients. Seki Takakazu et Leibniz étudièrent les déterminants à la fin du XVIIe siècle. En 1850, James Joseph Sylvester introduisit le mot matrice, du latin pour utérus, car il y voyait la source d'où naissent les déterminants. Son ami Arthur Cayley publia en 1858 A Memoir on the Theory of Matrices, traitant les matrices comme des objets à part entière avec addition, produit et inverse, et énonçant ce qu'on appelle aujourd'hui le théorème de Cayley-Hamilton.

Les matrices en infographie

Chaque fois qu'un jeu ou une visionneuse 3D dessine une image, des millions de points sont multipliés par des matrices. Une matrice 4x4 peut faire tourner, redimensionner et déplacer un point en une seule étape, et le produit de plusieurs d'entre elles réunit toute une chaîne de mouvements en une seule matrice. La caméra et la perspective sont aussi des matrices. Les cartes graphiques sont conçues pour faire ces produits en parallèle, ce qui explique aussi leur efficacité pour entraîner des réseaux de neurones.

Questions fréquemment posées

Peut-on diviser une matrice par une autre ?

Pas directement. On multiplie plutôt par l'inverse : A x B^-1 ou B^-1 x A, qui donnent en général des résultats différents. Cela ne marche que si B est carrée et de déterminant non nul.

Que m'indique le rang d'une matrice ?

Le rang est le nombre de lignes vraiment indépendantes, c'est-à-dire qu'aucune ne peut être obtenue à partir des autres. Une matrice 3x3 de rang 3 est inversible. Un rang 2 signifie que tout est écrasé sur un plan, un rang 1 sur une droite.

Qu'est-ce que la matrice identité ?

C'est la matrice carrée avec des 1 sur la diagonale et des 0 partout ailleurs, notée I. Elle joue le rôle du nombre 1 : A x I = I x A = A. Toute matrice à la puissance 0 vaut I par définition.