Tentang matriks | Perkalian, determinan, dan invers

Apa itu matriks?

Matriks adalah kisi angka dengan m baris dan n kolom, ditulis matriks m x n. Satu baris atau kolom saja disebut vektor. Matriks berukuran sama dijumlahkan elemen demi elemen, dan mengalikan dengan bilangan, skalar, berarti mengalikan setiap elemen. Kekuatan sebenarnya muncul saat matriks dilihat sebagai mesin yang mengubah satu vektor menjadi vektor lain.

Cara kerja perkalian matriks

Untuk elemen baris i dan kolom j dari A x B, telusuri baris i dari A dan kolom j dari B, kalikan pasangannya lalu jumlahkan. Karena itu A harus punya kolom sebanyak baris B. Aturan ini tampak aneh, tetapi artinya A x B melakukan hal yang persis sama dengan menerapkan B lalu A. Urutan penting: memutar lalu meregangkan tidak sama dengan sebaliknya.

Determinan dan invers

Determinan matriks persegi adalah satu bilangan yang menyatakan seberapa besar matriks itu menskalakan luas di 2D atau volume di 3D. Determinan 2 menggandakan setiap luas, determinan negatif juga mencerminkan bentuknya, dan 0 berarti ruang dipipihkan. Bentuk yang sudah pipih tidak bisa dibentangkan lagi, jadi tepat matriks dengan determinan 0 yang tidak punya invers. Untuk yang lain, invers membatalkan matriks: A x A^-1 menghasilkan matriks identitas, dengan angka satu di diagonal dan nol di tempat lain.

Cayley, Sylvester, dan sejarah matriks

Tabel angka dipakai untuk menyelesaikan persamaan jauh sebelum punya nama: kitab Tiongkok Sembilan Bab tentang Seni Matematika, berusia sekitar 2000 tahun, sudah mengeliminasi variabel dari tabel koefisien. Seki Takakazu dan Leibniz mempelajari determinan pada akhir abad ke-17. Pada 1850 James Joseph Sylvester memperkenalkan kata matriks, dari bahasa Latin untuk rahim, karena ia melihatnya sebagai sumber tempat determinan lahir. Sahabatnya Arthur Cayley menerbitkan A Memoir on the Theory of Matrices pada 1858, memperlakukan matriks sebagai objek tersendiri dengan penjumlahan, perkalian, dan invers, serta merumuskan yang kini disebut teorema Cayley-Hamilton.

Matriks dalam grafika komputer

Setiap kali gim atau penampil 3D menggambar satu bingkai, jutaan titik dikalikan dengan matriks. Matriks 4x4 bisa memutar, menskalakan, dan memindahkan titik dalam satu langkah, dan hasil kali beberapa matriks menggabungkan seluruh rangkaian gerakan menjadi satu matriks. Kamera dan perspektif juga berupa matriks. Kartu grafis dibuat untuk melakukan perkalian ini secara paralel, dan itulah sebabnya kartu grafis ternyata sangat cocok untuk melatih jaringan saraf.

Pertanyaan yang sering diajukan

Bisakah satu matriks dibagi dengan matriks lain?

Tidak secara langsung. Sebagai gantinya, kalikan dengan invers: A x B^-1 atau B^-1 x A, yang biasanya memberi hasil berbeda. Ini hanya bisa jika B persegi dan determinannya bukan 0.

Apa arti rank sebuah matriks?

Rank adalah jumlah baris yang benar-benar bebas, artinya tidak bisa dibentuk dari baris lain. Matriks 3x3 dengan rank 3 dapat dibalik. Rank 2 berarti semuanya dipipihkan ke sebuah bidang, dan rank 1 ke sebuah garis.

Apa itu matriks identitas?

Matriks persegi dengan angka satu di diagonal dan nol di tempat lain, ditulis I. Ia berperan seperti bilangan 1: A x I = I x A = A. Setiap matriks pangkat 0 didefinisikan sebagai I.