Về ma trận | Phép nhân, định thức và nghịch đảo

Ma trận là gì?

Ma trận là một lưới số gồm m hàng và n cột, gọi là ma trận m x n. Một hàng hay một cột riêng lẻ gọi là vectơ. Các ma trận cùng kích thước được cộng từng phần tử, còn nhân với một số (vô hướng) là nhân mọi phần tử. Sức mạnh thật sự lộ ra khi ta xem ma trận như cỗ máy biến một vectơ thành vectơ khác.

Phép nhân ma trận hoạt động thế nào

Để tìm phần tử ở hàng i, cột j của A x B, đi dọc hàng i của A và cột j của B, nhân từng cặp rồi cộng lại. Vì vậy số cột của A phải bằng số hàng của B. Quy tắc này thoạt nhìn lạ, nhưng nó có nghĩa A x B làm đúng việc áp dụng B rồi đến A. Thứ tự quan trọng: xoay rồi kéo giãn khác với kéo giãn rồi xoay.

Định thức và nghịch đảo

Định thức của ma trận vuông là một số cho biết ma trận phóng to diện tích trong 2D hay thể tích trong 3D bao nhiêu lần. Định thức bằng 2 làm mọi diện tích gấp đôi, định thức âm còn lật hình như gương, và 0 nghĩa là không gian bị ép dẹt. Hình đã dẹt thì không mở lại được, nên chính các ma trận có định thức 0 là không có nghịch đảo. Với các ma trận khác, nghịch đảo hoàn tác ma trận: A x A^-1 cho ma trận đơn vị, với số 1 trên đường chéo và 0 ở chỗ khác.

Cayley, Sylvester và lịch sử ma trận

Bảng số đã được dùng để giải phương trình từ lâu trước khi có tên: bộ Cửu chương toán thuật của Trung Quốc, khoảng 2000 năm tuổi, đã khử ẩn từ một bảng hệ số. Seki Takakazu và Leibniz nghiên cứu định thức vào cuối thế kỷ 17. Năm 1850, James Joseph Sylvester đưa ra từ matrix, tiếng Latinh nghĩa là tử cung, vì ông xem nó là nguồn sinh ra các định thức. Bạn ông, Arthur Cayley, công bố A Memoir on the Theory of Matrices năm 1858, coi ma trận là đối tượng riêng với phép cộng, phép nhân và nghịch đảo, và phát biểu điều nay gọi là định lý Cayley-Hamilton.

Ma trận trong đồ họa máy tính

Mỗi lần trò chơi hay trình xem 3D vẽ một khung hình, hàng triệu điểm được nhân với ma trận. Một ma trận 4x4 có thể xoay, co giãn và dịch chuyển một điểm chỉ trong một bước, và tích của nhiều ma trận gộp cả chuỗi chuyển động thành một ma trận duy nhất. Camera và phép chiếu phối cảnh cũng là ma trận. Card đồ họa được thiết kế để thực hiện song song các phép nhân này, đó cũng là lý do chúng hóa ra rất giỏi trong việc huấn luyện mạng nơ-ron.

Hỏi thường xuyên

Có thể chia một ma trận cho ma trận khác không?

Không trực tiếp. Thay vào đó ta nhân với nghịch đảo: A x B^-1 hoặc B^-1 x A, thường cho kết quả khác nhau. Chỉ làm được khi B vuông và định thức khác 0.

Hạng của ma trận cho biết điều gì?

Hạng là số hàng thật sự độc lập, tức không thể tạo ra từ các hàng khác. Ma trận 3x3 có hạng 3 là khả nghịch. Hạng 2 nghĩa là mọi thứ bị ép lên một mặt phẳng, hạng 1 lên một đường thẳng.

Ma trận đơn vị là gì?

Đó là ma trận vuông có số 1 trên đường chéo và 0 ở mọi chỗ khác, ký hiệu I. Nó đóng vai trò của số 1: A x I = I x A = A. Mọi ma trận mũ 0 được định nghĩa là I.