Über Matrizen | Multiplikation, Determinante und Inverse

Was ist eine Matrix?

Eine Matrix ist ein Zahlenraster mit m Zeilen und n Spalten, geschrieben als m x n-Matrix. Eine einzelne Zeile oder Spalte heißt Vektor. Gleich große Matrizen addiert man Eintrag für Eintrag, und die Multiplikation mit einer Zahl, einem Skalar, multipliziert einfach jeden Eintrag. Die eigentliche Stärke zeigt sich, wenn man eine Matrix als Maschine sieht, die einen Vektor in einen anderen verwandelt.

Wie Matrizenmultiplikation funktioniert

Für den Eintrag in Zeile i und Spalte j von A x B gehst du Zeile i von A entlang und Spalte j von B hinunter, multiplizierst die Paare und addierst sie. Darum braucht A so viele Spalten, wie B Zeilen hat. Die Regel wirkt zunächst seltsam, bedeutet aber, dass A x B genau dasselbe tut wie erst B und dann A anzuwenden. Die Reihenfolge zählt: erst drehen und dann strecken ist nicht dasselbe wie umgekehrt.

Determinante und Inverse

Die Determinante einer quadratischen Matrix ist eine einzige Zahl, die angibt, wie stark die Matrix Flächen in 2D oder Volumen in 3D skaliert. Eine Determinante von 2 verdoppelt jede Fläche, eine negative spiegelt die Figur zusätzlich, und 0 bedeutet, dass der Raum plattgedrückt wird. Eine plattgedrückte Figur lässt sich nicht wieder entfalten, deshalb haben genau die Matrizen mit Determinante 0 keine Inverse. Bei allen anderen macht die Inverse die Matrix rückgängig: A x A^-1 ergibt die Einheitsmatrix mit Einsen auf der Diagonale und sonst Nullen.

Cayley, Sylvester und die Geschichte der Matrizen

Zahlentabellen dienten schon lange vor ihrem Namen zum Lösen von Gleichungen: Die chinesischen Neun Kapitel der Rechenkunst, rund 2000 Jahre alt, eliminieren bereits Unbekannte aus einer Koeffiziententabelle. Determinanten untersuchten Seki Takakazu und Leibniz im späten 17. Jahrhundert. 1850 führte James Joseph Sylvester das Wort Matrix ein, lateinisch für Gebärmutter, weil er darin den Ursprung sah, aus dem Determinanten entstehen. Sein Freund Arthur Cayley veröffentlichte 1858 A Memoir on the Theory of Matrices, behandelte Matrizen als eigene Objekte mit Addition, Multiplikation und Inversen und formulierte den heutigen Satz von Cayley-Hamilton.

Matrizen in der Computergrafik

Jedes Mal, wenn ein Spiel oder 3D-Betrachter ein Bild zeichnet, werden Millionen Punkte mit Matrizen multipliziert. Eine 4x4-Matrix kann einen Punkt in einem Schritt drehen, skalieren und verschieben, und das Produkt mehrerer solcher Matrizen fasst eine ganze Kette von Bewegungen in einer einzigen Matrix zusammen. Auch Kamera und Perspektive sind Matrizen. Grafikkarten sind dafür gebaut, diese Multiplikationen parallel auszuführen, und deshalb eignen sie sich auch so gut zum Trainieren neuronaler Netze.

Häufig gestellte Fragen

Kann man eine Matrix durch eine andere teilen?

Nicht direkt. Stattdessen multipliziert man mit der Inversen: A x B^-1 oder B^-1 x A, was meist verschiedene Ergebnisse liefert. Das geht nur, wenn B quadratisch ist und eine Determinante ungleich 0 hat.

Was sagt mir der Rang einer Matrix?

Der Rang ist die Zahl der wirklich unabhängigen Zeilen, also der Zeilen, die sich nicht aus den anderen bilden lassen. Eine 3x3-Matrix mit Rang 3 ist invertierbar. Rang 2 bedeutet, dass alles auf eine Ebene gedrückt wird, Rang 1 auf eine Gerade.

Was ist die Einheitsmatrix?

Es ist die quadratische Matrix mit Einsen auf der Diagonale und sonst Nullen, geschrieben I. Sie spielt die Rolle der Zahl 1: A x I = I x A = A. Jede Matrix hoch 0 ist als I definiert.