Sobre as calculadoras | Como funcionam, ordem das operações e história

Da tecla ao resultado

Cada tecla premida torna-se um token: um número, um operador, um parêntese ou uma função. Quando prime =, a calculadora lê os tokens por ordem, decide que operações vêm primeiro e calcula o resultado passo a passo. Dentro do chip, os números são guardados em binário, e por isso alguns decimais, como 0,1, só podem ser guardados de forma aproximada.

A ordem das operações

Os matemáticos concordam numa ordem fixa para que uma conta signifique o mesmo para todos: primeiro os parênteses, depois potências e raízes, em seguida multiplicações e divisões e, por fim, somas e subtrações. É por isso que 2 + 3 × 4 dá 14: a multiplicação vem antes da soma. As calculadoras simples que trabalham estritamente da esquerda para a direita dão 20.

As funções científicas

Funções como sin, ln e √ não estão guardadas numa tabela gigante. A calculadora obtém-nas com séries e algoritmos engenhosos que somam pequenos passos até o resultado ser suficientemente preciso. Muitas calculadoras de bolso usam o método CORDIC, que só precisa de somas, subtrações e deslocamentos de algarismos.

Do ábaco à régua de cálculo

O ábaco, com contas em varetas ou fichas sobre linhas, foi usado na Mesopotâmia, na China e em Roma durante milhares de anos. Em 1617, John Napier descreveu os seus bastões de cálculo, e os seus logaritmos tornaram possível pouco depois a régua de cálculo, que os engenheiros usaram até aos anos 70. Em 1642, Blaise Pascal construiu a Pascalina, uma máquina de engrenagens que somava e subtraía.

A calculadora de bolso

As calculadoras mecânicas encheram os escritórios no século XIX e no início do século XX. Nos anos 60 surgiram as primeiras calculadoras eletrónicas de secretária, e no início dos anos 70 os chips ficaram pequenos e baratos o suficiente para calculadoras de bolso. Em 1972, a HP-35 tornou-se a primeira calculadora científica de bolso, e em poucos anos a régua de cálculo quase tinha desaparecido.

Perguntas frequentes

Porque é que 0,1 + 0,2 às vezes dá 0,30000000000000004?

Os computadores guardam os números em binário, e 0,1 não pode ser escrito exatamente em binário. O pequeníssimo erro aparece muito depois da vírgula. Esta calculadora arredonda a 12 algarismos significativos, por isso vê 0.3.

Porque é que algumas calculadoras dão 20 para 2 + 3 × 4?

As calculadoras simples calculam cada passo assim que prime o operador seguinte, da esquerda para a direita. As calculadoras científicas, como esta, seguem a ordem das operações e dão 14.

O que é o fatorial de um número?

O fatorial n! é o produto de todos os números inteiros de 1 a n, por isso 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. Por definição, 0! = 1.