Как работают калькуляторы
Калькулятор кажется простым: нажимаешь несколько клавиш — и появляется ответ. Но за дисплеем скрывается хитрая цепочка шагов и история счётных инструментов длиной в тысячи лет.
От нажатия клавиши к ответу
Каждое нажатие клавиши превращается в токен: число, оператор, скобку или функцию. Когда вы нажимаете =, калькулятор читает токены по порядку, определяет, какие действия выполняются первыми, и шаг за шагом вычисляет ответ. В микросхеме числа хранятся в двоичном виде, поэтому некоторые десятичные дроби, например 0,1, хранятся лишь приближённо.
Порядок действий
Математики договорились о фиксированном порядке, чтобы выражение значило одно и то же для всех: сначала скобки, затем степени и корни, потом умножение и деление и в конце сложение и вычитание. Поэтому 2 + 3 × 4 равно 14: умножение выполняется раньше сложения. Простые калькуляторы, которые считают строго слева направо, выдают 20.
Научные функции
Функции вроде sin, ln и √ не хранятся в гигантской таблице. Калькулятор вычисляет их с помощью рядов и хитрых алгоритмов, которые складывают маленькие шаги, пока ответ не станет достаточно точным. Многие карманные калькуляторы используют метод CORDIC, которому нужны только сложения, вычитания и сдвиги цифр.
От абака до логарифмической линейки
Абак — бусины на стержнях или камешки на линиях — применялся в Месопотамии, Китае и Риме тысячи лет. В 1617 году Джон Непер описал свои счётные палочки, а его логарифмы вскоре сделали возможной логарифмическую линейку, которой инженеры пользовались вплоть до 1970-х. В 1642 году Блез Паскаль построил Паскалину — машину с шестерёнками, умевшую складывать и вычитать.
Карманный калькулятор
В XIX и начале XX века офисы были заполнены механическими арифмометрами. В 1960-х появились первые электронные настольные калькуляторы, а в начале 1970-х микросхемы стали достаточно маленькими и дешёвыми для калькуляторов, помещающихся в карман. В 1972 году HP-35 стал первым инженерным карманным калькулятором, и за несколько лет логарифмическая линейка почти исчезла.
Часто задаваемые вопросы
Почему 0,1 + 0,2 иногда даёт 0,30000000000000004?
Компьютеры хранят числа в двоичном виде, а 0,1 нельзя точно записать в двоичной системе. Крошечная ошибка проявляется далеко после запятой. Этот калькулятор округляет до 12 значащих цифр, поэтому вы видите 0.3.
Почему некоторые калькуляторы для 2 + 3 × 4 дают 20?
Простые калькуляторы выполняют каждое действие, как только вы нажимаете следующий оператор, слева направо. Инженерные калькуляторы, включая этот, соблюдают порядок действий и дают 14.
Что такое факториал числа?
Факториал n! — это произведение всех целых чисел от 1 до n, поэтому 5! = 1 × 2 × 3 × 4 × 5 = 120. По определению 0! = 1.
Сопутствующие инструменты
Калькулятор
Бесплатный онлайн-калькулятор с обычным и инженерным режимом: тригонометрия, логарифмы, степени, корни, факториалы, память и история, с правильным порядком действий.
Последовательность Фибоначчи
Каждое число Фибоначчи — сумма двух предыдущих. Смотрите, как квадраты складываются в спираль, отношения стремятся к золотому сечению, а формула Бине восстанавливает те же числа.
Гипотеза Коллатца
Исследуйте задачу Коллатца 3n+1 в браузере. Проходите последовательности «градин», выращивайте геометрическое дерево Коллатца и приближайте непрерывный фрактал Коллатца.
π методом Монте-Карло
Бросайте тысячи случайных дротиков в квадрат с вписанным кругом и смотрите, как доля попавших внутрь превращается в π. Запускайте, останавливайте и следите, как сходится оценка.
Решето Эратосфена
Посмотрите, как решето Эратосфена находит простые числа до 100, 200, 500 или 1000. Каждое простое число вычёркивает свои кратные своим цветом, шаг за шагом.
Готовы попробовать?
Откройте PictorX в своем браузере — установка не требуется, для запуска не требуется кредитная карта.
Открыть калькулятор