O paradoxo do aniversário
O paradoxo do aniversário, ou problema do aniversário, diz que, num grupo aleatório de apenas 23 pessoas, a probabilidade de pelo menos duas delas fazerem anos no mesmo dia é superior a 50%. Com 57 pessoas é de 99%.
O paradoxo
Pergunte a alguém de quantos convidados uma festa precisa para que dois deles provavelmente façam anos no mesmo dia, e a maioria dirá cerca de 180, metade de 365. A resposta certa é 23: a probabilidade é então de 50,7%. Com 57 convidados é de 99%. Chama-se paradoxo não por ser contraditório, mas por ir tão fortemente contra a nossa intuição.
Porque é que a intuição falha
Numa sala, raciocinamos inconscientemente a partir de nós próprios: qual é a probabilidade de alguém fazer anos no mesmo dia que eu? Com 365 dias, essa probabilidade é pequena. Mas o paradoxo diz respeito a todos os pares possíveis na sala, e não a uma coincidência com uma pessoa em particular: A e B, B e C, A e C, e assim por diante. Com 23 pessoas podem formar-se 253 pares diferentes, e qualquer um deles pode fazer anos no mesmo dia.
Os pares crescem com o quadrado
n pessoas formam n × (n − 1) / 2 pares: 10 pessoas formam 45 pares, 23 formam 253, 57 formam 1596 e 100 formam 4950. Cada par faz anos no mesmo dia com probabilidade 1/365, por isso 253 pares dão em média 253/365 ≈ 0,69 pares com aniversário em comum. Duplicar o grupo multiplica os pares aproximadamente por quatro, e é por isso que a probabilidade de um aniversário em comum dispara.
O cálculo passo a passo
O mais fácil é calcular a probabilidade de ninguém partilhar o aniversário e subtraí-la de 100%. A primeira pessoa fica com um dia qualquer. A segunda pessoa tem uma probabilidade de 364/365 de não fazer anos no mesmo dia. A terceira tem uma probabilidade de 363/365 de não coincidir com as duas primeiras, e assim por diante. Para 23 pessoas:
365/365 × 364/365 × 363/365 × … × 343/365 ≈ 49,3%
Como a probabilidade de todos fazerem anos em dias diferentes é de 49,3%, o acontecimento contrário, pelo menos um aniversário em comum, tem uma probabilidade de 100% − 49,3% = 50,7%.
Alguém que faz anos no seu dia
A probabilidade de alguém partilhar o seu aniversário é outra questão. Cada uma das outras n − 1 pessoas falha o seu aniversário com probabilidade 364/365, por isso a probabilidade de alguém fazer anos nesse dia é 1 − (364/365)ⁿ⁻¹. Com 23 pessoas é de apenas 5,9%, e são precisas outras 253 pessoas para passar os 50%. Só 22 dos 253 pares num grupo de 23 o incluem.
A regra da raiz quadrada e os ataques do aniversário
Com N valores igualmente prováveis, uma repetição torna-se provável após cerca de 1,2 × √N extrações: √365 ≈ 19, e 1,2 × 19 ≈ 23. Isto é muito importante em segurança informática. Os atacantes usam ataques do aniversário para encontrar duas entradas com o mesmo hash criptográfico, uma colisão, por exemplo para falsificar uma assinatura digital. Graças ao paradoxo do aniversário, precisam de muito menos tentativas do que a intuição sugere: cerca de 2⁶⁴ para um hash de 128 bits, em vez de 2¹²⁸. É por isso que os hashes modernos como o SHA-256 têm saídas longas.
Explore-o no PictorX
Abra o paradoxo do aniversário e um grupo de 23 pessoas forma-se num círculo, uma pessoa de cada vez. Cada recém-chegado acrescenta uma linha a cada pessoa já presente, e a legenda conta os pares. Os seus aniversários caem num calendário, e um dia com dois ou mais acende-se. Por baixo, o cálculo para o tamanho do grupo aparece ao lado da proporção de grupos testados que tiveram um aniversário em comum, e o gráfico mostra a probabilidade para cada tamanho de grupo, para duas pessoas quaisquer e para alguém que faz anos no seu dia. Adicione pessoas uma a uma, escolha de 2 a 366 pessoas, teste até 100 000 grupos, a até 10 000 por segundo, ou teste todos os tamanhos de grupo e veja os pontos a desenhar a curva.
Perguntas frequentes
O que é o paradoxo do aniversário?
O facto surpreendente de que, num grupo de apenas 23 pessoas, a probabilidade de duas delas fazerem anos no mesmo dia é superior a 50%: 50,7%.
Porque é que bastam 23 pessoas?
Porque 23 pessoas formam 253 pares, e cada par é uma oportunidade para um aniversário em comum. Tendemos a contar apenas os 22 pares que nos incluem a nós próprios.
Quantas pessoas são precisas para uma probabilidade de 99%?
57. Com 70 pessoas a probabilidade é de 99,9%, e com 366 pessoas um aniversário em comum é certo, porque só há 365 dias.
O que é um ataque do aniversário?
Um ataque a uma função de hash criptográfica que tira partido do paradoxo do aniversário: entre cerca de √N entradas aleatórias, duas têm provavelmente o mesmo valor de hash, de entre N valores possíveis, por isso as colisões encontram-se muito mais cedo do que ao tentar igualar um hash dado.
O resultado muda com aniversários reais?
Pouco. Os aniversários reais não estão distribuídos de forma perfeitamente uniforme ao longo do ano, e uma distribuição desigual torna um aniversário em comum ligeiramente mais provável. O 29 de fevereiro, que só existe de quatro em quatro anos, quase não faz diferença.
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